Re: [obm-l] Ajudem-me !!!

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

 --- leonardo mattos <leonar_matt@hotmail.com>
escreveu: > Ola amigos da lista, um amigo
apresentou-me essas
> tres questoes q seguem 
> abaixo e por enquanto nao consegui fz nenhum delas.
> Gostaria q vcs me 
> ajudassem a resolve-las.Ai vao...
> 
> 1) y^2 + 3(xy)^2 = 30x^2 + 517 . Determine o valor
> de 3(xy)^2

O enunciado que eu tenho diz: "Se x e y são números
inteiros..." e depois vem o resto. COnsiderando x e y
inteiros:

y² + 3x²y² = 30x² + 517
y².(1 + 3x²) = 30x² + 517
y² = (30x² + 517)/(1 + 3x²)
y² = 30x²/(1 + 3x²) + 517/(1 + 3x²)

Como y é inteiro, y² também é então o segundo membro
dessa equação tem que dar um número inteiro, então
vamos separar um inteiro mais uma fração:
y² = 30x²/(1 + 3x²) + 517/(1 + 3x²)
y² = (30x² + 10)/(1 + 3x²) + (517 - 10)/(1 + 3x²)
y² = 10.(3x² + 1)/(1 + 3x²) + (517 - 10)/(1 + 3x²)
y² = 10 + (517 - 10)/(1 + 3x²)
y² = 10 + 507/(1 + 3x²)

Então 1 + 3x² tem que ser divisor de 507, que
fatorando:
507 = 3.13²

Que nos dá os seguintes divisores:
1, 3, 13, 39, 169, 507

Então 1 + 3x² tem que ser um desses números. Se você
verificar verá que não há inteiro que satisfaça 1 +
3x² ser divisor de nenhum desses, a não ser do 13 e do
1. Mas para 1 + 3x² ser igual a 1, x teria que ser
zero e não satisfaria nosso problema porque teríamos:
y² + 3x²y² = 30x² + 517
y² = 517

Mas 517 não é um quadrado perfeito. Então temos:
1 + 3x² = 13
3x² = 12
x = +-2

Sendo assim temos o valor de y:
y² = 10 + 507/(1 + 3x²)
y² = 10 + 507/13
y² = 10 + 39
y = +-7

Como o problema pediu 3x²y²:
= 3x²y²
= 3.4.49
= 588



> 2) N=19^88 - 1 . Determine a soma dos divisores d de
> N da forma d=(2^a)(3^b)

Isso foi o melhor que consegui:

Temos que achar o primeiro "a" tal que 2^a não divide
N e o primeiro "b" tal
que 3^b não divide N.

Vamos começar pelas potências de 2:
Como 361 = 8*45 + 1 temos N = 1^44 - 1 = 0 (mod 8),
então 8 divide N.

Como 361 = 16*22 + 9 temos N = 9^44 - 1 = 81^22 - 1 =
1^22 - 1 = 0 (mod 16), então 16 divide N.

Como 361 = 32*11 + 9 temos N = 9^44 - 1 = 81^22 - 1 =
17^22 - 1 = 289^11 - 1 = 0 (mod 32), 32 divide N.
(Já que 289 = 9*32 + 1).

Como 361 = 64*5 + 41 temos N = 41^44 - 1 = 1681^22 - 1
= 17^22 - 1 = 289^11 - 1 = 33^11 - 1 = 33*1089^5 - 1 =
33*1^5 - 1 = 32 (mod 64) (Já que 1681 = 64*26 + 17, 
289 = 4*64 + 33 e 1089 = 64*17 + 1).
Então 32 divide N, mas 64 não.

Agora vamos às potências de 3:
Como 19 = 2*9 + 1
N = 19^88 - 1 = 0 (mod 9)
Como 361 = 27*13 + 10 temos N = 361^44 - 1 = 10^44 - 1
(mod 27)
E temos 10^3 = 27*37 + 1
Daí N = 10^44 - 1 = 100*1^14 - 1 = 99 = 18 (mod 27)
Então 27 não divide N, mas 9 sim.

Agora sabemos que 19^88 é da forma 2^5 . 3² . K. Então
a soma dos divisores
de N é:
(2 + 4 + 8 + 16 + 32)(3 + 9) = 62 . 12 = 744



> 3) Seja n^5= 133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 sendo n
> inteiro. Determine o valor 
> de n

Vamos usar a propriedade:
a^p = a (mod p)

Que quer dizer que a^p deixa resto "a" quando dividido
por "p". Assim:
133^5 = 133 (mod 5) = 3 (mod 5)
110^5 = 110 (mod 5) = 0 (mod 5)
84^5 = 84 (mod 5) = 4 (mod 5)
27^5 = 27 (mod 5) = 2 (mod 5)

Assim, como n^5 é a soma desses alagarismos e n^5 = n
(mod p):
n^5 = 133^5 + 110 ^5 + 84^5 + 27^5
n = 3 + 0 + 4 + 2 (mod 5)
n = 9 (mod 5)
n = 4 (mod 5)

E isso quer dizer que quando dividido por 5, "n" deixa
resto 4. Agora vamos fazer módulo 3 e módulo 2, pois
n².n³ = n^5:
n^3 = n (mod 3)

133^3 = 133 (mod 3) = 1 (mod 3)
110^3 = 110 (mod 3) = 2 (mod 3)
84^3 = 84 (mod 3) = 0 (mod 3)
27^3 = 27 (mod 3) = 0 (mod 3)

n = 1 + 2 + 0 + 0 (mod 3)
n = 3 (mod 3)
n = 0 (mod 3)

E agora módulo 2:
133^2 = 133 (mod 2) = 1 (mod 2)
110^2 = 110 (mod 2) = 0 (mod 2)
84^2 = 84 (mod 2) = 0 (mod 2)
27^2 = 27 (mod 2) = 1 (mod 2)

n = 1 + 0 + 0 + 1 (mod 2)
n = 2 (mod 2)
n = 0 (mod 2)

[Teorema o resto chinês] Sejam "m" e "n" inteiros
positivos, com mdc(m,n) =
1. Então o sistema de congruência:
x = a (mod n)
x = b (mod m)
tem solução. Além disso, quaisquer duas soluções são
congruentes módulo "mn".

n = 5x + 4
n = 3y
n = 2z
n = 6a = 3y = 2z

6a = 5x + 4
x = 2b

6a = 10x + 4
3a = 5b + 2
Resp.: a = 4, b = 2

x = 4, n = 24

Como n é da forma 5.3.2.k + 24 = 30k + 24, e como "n"
tem que ser maior que 133, k pode ser 4, o que nos dá
n = 144. Se k for maior que 4, teremos um
número muito grande (174).

Resposta: n = 144

Abraços,

Rafael.

PS.: Desculpe-me a demora.

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