[obm-l] Re: Radiciação em Complexos

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

jaofisica wrote:

> Pô, mas será q, mesmo dando um trabalho absurdo, não 
> poderiamos fazer umas somas, e arcos "um terço" ( não 
> sei se tem como ), não teriamos como trabalhar, e chegar 
> aos valores dos senos e cossenos dos argumentos das 
> raízes, sem ter q saber o argumento do número complexo 
> original?

	Mas não precisa de tudo isso... dá pra resolver
algebricamente sem precisar supor nenhum número inteiro.
Seja o numero procurado (a+bi) tal que (a+bi)^3=-11-2i.

	Logo:

	(a+bi)^3=(aaa-3abb)+i(3aab-bbb)

	E portanto:

	aaa-3abb=-11	[I]
	3aab-bbb=-2	[II]

	Mas nós queremos calcular a raiz cúbica de (-11-2i),
então o modulo de (a+bi) deve ser a raiz cúbica do módulo
de (-11-2i):

	(a^2+b^2)=((-11)^2+(-2)^2)^(1/3)=
	          (121+4)^(1/3)=125^(1/3)=5

	Logo a^2+b^2=5 => b^2=5-a^2

	Substituindo em (I):

	a^3 -3a(5 -a^2)=-11
	a^3 -15a +3a^3=-11
	4a^3 - 15a + 11 =0

	Dessa última eq você tira que a=1 (se você ainda não
decorou a equação do Cardano, só precisa notar que a soma
dos coeficientes dá zero). De a=1 você substitui e acha b=-2,
concluindo que (-11-2i)^(1/3)=1-2i
	
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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br        "Vitrum edere possum, mihi non nocet"
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