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[obm-l] Uma prova da transcedencia de e



Vou dar um esquete de uma demo de que e e transcedental.
Suponha que e e algebrico(por que sera?..?), ou seja
c(n)*e^n+...+c(1)*e+c(0)=0 para alguns reais convenientes.
 
 
1)Seja P(x) um polinomio de grau r e defina
 
F(x)=P(x)+P'(x)+P''(x)+...+P^(r)(x)
 
Prove que
-e^(-x)*P(x)=d/dx (e^(-x)*F(x))
 
2)Usando teorema do valor medio prove que para todo k>0 vale
 
F(k)-e^k*F(0)= -k*e^(k(1-t(k)))*P(kt(k)) :=y(k)
 
em que 0<t(k)<1.
 
3)Seja p um primo, p>n, p>c(0) e seja um polinomoio P tal que
 
P(x)*(p-1)!=x^(p-1)*(1-x)^p...(n-x)^p
 
Vamos tentar demonstrar que nisto P e um inteiro nao multiplo de P e ao mesmo tempo menor que 1.E a mesma coisa que achar um inteiro entre zero e um.
 
Prove que c(0)F(0)+...+c(n)F(n)=c(1)y(1)+...+c(n)y(n)
 
4)Seja Q(x)=soma de 0 ate r de {a(j)x^j} um polinomio em Z e p<r.
 
Prove que Q(i)(X)=soma de i ate r de {j(j-1)(j-2)(j-3)...(j-i+1)*a(j)(x^(j-i))}
e que Q(i)(X)/(p-1)! com i>p e um polinomio de coeficientes multiplos de p.
 
5)Prove que o polinomio P e da forma
 
P(x)=(n!)^p/(p-1)!*x^(p-1)+b(0)/(p-1)!*x^p+...
 
Prove que P^(i)(k)=0 com i<p, k=1,2,3,...n; e tambem P^(p-1)(0)=(n!)^p e se i<p-1 entao P^(i)(0)=0.
 
6)Prove que p nao divide F(0) mas p divide F(k) para k=1,2,...n.
 
7)Se precisar prove isto:se d(i), i=0,1,...,r sao inteiros tais que p nao divide apenas o d(0) entao a soma nao e multipla de p.
 
8)Ja que 0<c(0)<p, use o que voce ja fez pra ver que p nao divide
c(0)F(0)+...+c(n)F(n).
 
9)Prove que se k<=n entao (p-1)!*|y(k)|<=e^n*n^p*(n!)^p, bastando escrever  o y adequadamente...
 
10)Agora e so fazer o primo p crescer muito para que
|c(1)y(1)+...+c(n)y(n)|<1
 
E acabou, nao?Confiram se nao errei nada...
Agora tenho que ir pra casa....Ate amanha (e bons sonhos...uaaaaahhhhh)...
 
ate mais!!!Ass.:Johann



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