Re: [obm-l] IME-2003

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.11.03 20:03, Jorge Paulino at jorgepsf@yahoo.com.br wrote:

> Como resolvo a questão 6 da prova?
> "Sendo a, b e c números naturais em PA e z um número
> complexo de módulo unitário, determine um valor para
> cada um dos números, a,b,c e z de forma que eles
> satisfaçam a igualdade  1/(z^a)+1/(z^b)+1/(z^c)=z^9
> 
> Obrigado,
> Jorge
> 
Fazendo a = c - 2r e b = c - r e com um pouco de algebra, voce chega em:
z^(2r) + z^r + 1 = z^(9+c) ==>
z^(3r) - 1 = z^(9+c)*(z^r - 1)

Vamos escolher z e r de forma que z^r <> 1 mas z^(2r) = 1.
Por exemplo: z = i e r = 2 ==>
z^r - 1 = -2 = z^(3r) - 1   e   z^(2r) - 1 = 0.

Isso implica que -2 = i^(9+c)*(-2) ==>
i^(9+c) = 1 ==>
9 + c = 4m para algum m inteiro.

Tomemos m = 4. Entao c = 7 ==>
b = c - 2 = 5   e   a = c - 4 = 3.

Checando:
1/z^a + 1/z^b + 1/z^c = 1/i^3 + 1/i^5 + 1/i^7 = i - i + i = i
z^9 = i^9 = i

Assim:
z = i, a = 3, b = 5 e c = 7 servem.
 
Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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