Re: [obm-l] Problema

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Problema

on 24.11.03 10:06, Benedito at bene@ccet.ufrn.br wrote:

> Um problema da Olimpíada Espanhola, se não me engano, de 1985:
>  
> Para cada número natural n, o número (n+1)(n+2)(n+3)...(2n)  é divisível por (2 elevado a n).
> Benedito
> ____________________________________________________
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Seja E(k) = expoente de 2 na decomposicao de k em fatores primos.

Entao, E((n+1)(n+1)...(2n)) = E((2n)!) - E(n!).

E((2n)!) = 
[2n/2] + [2n/2^2] + [2n/2^3] + ... =
= [n] + [n/2] + [n/2^2] + ... =
= [n] + E(n!) ==>

E((n+1)(n+2)...(2n)) = E((2n)!) - E(n!) = [n] = n ==> 
2^n divide (exatamente) (n+1)(n+2)...(2n).

Um abraco,
Claudio.