FW: [obm-l] d?vidas (geometria)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 21.11.03 22:26, Thais Spiegel at thais@danceart.net wrote:

> N?o consigo resolver essas quest?es, se algu?m puder me ajudar ...
> 
> -Sendo AA' , BB' , CC' e DD' arestas paralelas de um cubo cuja base ? o
> quadrado ABCD, calcule a medida da perpendicular comum ?s diagonais
> de faces AD' e BA' , em fun??o da aresta a do cubo.
> 

Oi, Thais:

Uma ideia eh usar geometria analitica e vetores no R^3.
Por exemplo, coloque a origem em A, o eixo x na direcao de AB, o eixo y na
direcao de AD e o eixo z na direaco de AA'. Assim:
A = (0,0,0)
B = (a,0,0)
A'= (0,0,a)
D'= (0,a,a)

Logo, os vetores correspondentes a AD' e BA' seriam:
AD' = D' - A = (0,a,a)   e   BA' = A' - B = (-a,0,a)

Equacao da reta AD': (x,y,z) = (0,0,0) + u*(0,a,a) = a*(0,u,u)
Equacao da reta BA': (x,y,z) = (a,0,0) + v*(-a,0,a) = a*(1-v,0,v)
onde u e v sao parametros reais independentes.

Um vetor perpendicular a AD' e BA' seria dado pelo produto vetorial desses
dois vetores:
 i  j  k
 0  a  a  =  a^2*i - a^2*j + a^2*k
-a  0  a
Ou seja, podemos usar (a,-a,a) = a*(1,-1,1).

Agora fazemos a*(0,u,u) + k*a*(1,-1,1) = a*(1-v,0,v) onde k eh um parametro
a ser determinado. O significado geometrico disso eh o seguinte: uma vez
achado o vetor perpendicular comum (digamos W = a*(1,-1,1)), temos que achar
um ponto P sobre AD' e um escalar k, tal que o ponto P + k*W pertenca a BA'.

a*(0,u,u) + k*a*(1,-1,1) = a*(1-v,0,v) ==>

(k,u-k,u+k) = (1-v,0,v) ==>

k = 1 - v 
u - k = 0 
u + k = v ==>

1 - v = u
2u = v ==>

u = 1/3, v = 2/3  ==>

os pontos sobre AD' e BA', extremidades da perpendicular comum, sao,
respectivamente: a*(0,1/3,1/3)   e   a*(1/3,0,2/3) ==>

d^2 = a^2*(1/3^2 + 1/3^2 + 1/3^2) ==>

d = a/raiz(3).

Imagino que o outro problema saia de forma analoga.

Um abraco,
Claudio.

> -Sendo AA' , BB' , CC' e DD' arestas paralelas de um cubo cuja base ? o
> quadrado ABCD, calcule a medida da perpendicular comum ? diagonal AC'
> do cubo e ? diagonal BA' da face, em fun??o da aresta a do cubo.
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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