[obm-l] Divisores de n

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 11.10.03 19:37, Marcelo Souza at marcelo_souza7@hotmail.com wrote:

> Alguém poderia me ajudar
> 
> O numero natural n tem seus divisores x1,x2,x3...,xk ordenados de forma que
> x1<x2<x3...<xk. Ache todos os n tq x5^2+x6^2-1=n
> 
> []'s
> 
Alguem fez algum progresso no problema acima?

O maximo que eu descobri foi:
1) mdc(x5,x6) = 1:
Se p eh um primo que divide x5 e x6, entao p divide x5^2 + x6^2 = n+1. Mas p
tambem divide n. Logo, p divide 1 ==> contradicao.

2) x5 <= raiz(n/2) < raiz((n+1)/2) <= x6:
x5 < x6 ==> x5^2 < x6^2 ==> n+1 = x5^2 + x6^2 < 2*x6^2 ==> 2*x6^2 >= n+2 ==>
x6 >= raiz((n+1)/2).
Tambem 2*x5^2 < n+1 ==> 2*x5^2 <= n ==> x5 <= raiz(n/2).

Tambem fiz umas continhas e descobri que:
x5*x6 | n = x5^2 + x6^2 - 1 = (x5 + x6)^2 - 2*x5*x6 - 1 ==>
x5*x6 | (x5 + x6)^2 - 1 = (x5 + x6 + 1)*(x5 + x6 - 1)

Talvez saia alguma coisa disso ai, mas nao tenho muita certeza.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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