[obm-l] Dúvida em Função Polinomial (2)

["Oblomov Insistenko" <rhilbert1990@xxxxxxx>]

Obrigado Eduardo e Cláudio pelas respostas.
Mas acho que o que eu queria mesmo era saber se existe uma maneira mais 
simples de "criar" algumas funções polinomiais bijetoras além das famosas 
f(x)=x^n, n ímpar.
Se tiverem uma dica agradeço de novo
[]'


>From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em Função Polinomial
>Date: Thu, 13 Nov 2003 13:57:42 -0300
>
>Oi Oblomov.
>
>TEOREMA. Uma função P polinomial, não constante, é bijetora se e somente se
>é monótona.
>
>Suponhamos P função polinomial, não constante e monótona. É um exercício 
>que
>está em todos os livros de análise mostrar que P(x) se torna ilimitado
>quando x cresce a mais ou menos infinito. Como a função é monótona, ela vai
>crescer a mais infinito para um lado e a menos infinito para o outro. A
>imagem por P dos reais é conexo, pois R é conexo e P contínua, ilimitado
>pelos dois lados, portanto deve ser todo o R, e a função é sobrejetora. Ela
>é injetora pois se houvesse x < y com P(x) = P(y) então, pela
>monotonicidade, P(z) = P(x) = P(y) para todo x < z < y, o que implicaria P
>== cte, contrariando a hipótese. Portanto P é bijetora.
>
>Suponhamos P função polinomial bijetora. Se a função não fosse monótona,
>existiriam x < y < z tais que P(x) < P(y) > P(z) ou P(x) > P(y) < P(z). 
>Seja
>K um número entre P(x) e P(y) e entre P(x) e P(z). Como P é contínua, pelo
>teorema do valor intermediário, existem w e u com x < w < y  e y < u < z
>tais que P(w) = K = P(u), contrariando a hipótese de que P é injetora. Ou
>seja, a função P é monótona.
>
>E fim...
>
>Uma outra maneira de dizer que P é monótona é dizer que P', a função
>derivada, é não-negativa ou não-positiva. Daí podemos tirar um critério
>talvez mais pé-no-chão. Encontramos todas as raízes da derivada P' : r_1,
>r_2, ..., r_n. Queremos garantir que todos esses pontos são de mínimo local
>ou todos são de máximo local. Para isso, eu não conheço um critério geral,
>nem sei se existe. CASO as derivadas segundas P''(r_1), ..., P''(r_n)
>tiverem todas o mesmo sinal, está garantido que todos os r_i são de extremo
>local do mesmo tipo, mas esse não é um critério necessário em geral.
>
>Era algo deste tipo que você queria?
>
>Abraço,
>Duda.
>
>From: "Oblomov Insistenko" <rhilbert1990@msn.com>
> >
> > Alô pessoal,
> > alguém aí poderia me dizer qual é a condição para que uma função
>polinomial
> > seja  bijetora e... provar? Ou seja quero saber quando uma função
>polinomial
> > tem inversa.
> > Obrigado.
> > []'
>
>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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