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Re: [obm-l] Grupo abeliano



Title: Re: [obm-l] Grupo abeliano
 
----- Original Message -----
Sent: Sunday, November 02, 2003 12:24 PM
Subject: Re: [obm-l] Grupo abeliano

on 30.10.03 20:41, Pedro Antonio Santoro Salomão at ssalomao@zaz.com.br wrote:

Caro Cláudio,
Acho que encontrei uma solução para aquele problema do grupo abeliano.

Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem n tais que se H e K forem quaisquer dois deles, vale:

H inter K = {e}

Por uma conta direta usando cardinalidade, que alguém já tinha feito, sabíamos que

G = HK = KH

Vamos mostrar agora que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado é normal em G.
Seja h <> e um elemento de H e g <> e elemento qualquer de G.

Supomos que

ghg^(-1) = k onde k está em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de H

Mas sabemos que g = k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.

Então temos

k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k

Logo

h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1

O lado esquerdo está em H e o direito em K

Logo devem ser iguais a e.

Concluimos que

h = k = e

o que é uma contradição.

Daí decorre que

ghg^(-1) não pode estar fora de H e, portanto, H é normal.

Como isso vale para qualquer H,

temos que H, K e todos os outros subgrupos do enunciado são normais em G.

Agora fica fácil terminar a demonstração.

Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e}, então hk = kh para todo h,k em H e K, respectivamente.

Basta ver que

hkh^(-1)k^(-1) = e, pois

hkh^(-1) está em K e portanto o lado esquerdo acima está em K.
Da mesma forma kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto, o lado esquerdo acima também está em H, concluindo que ele deve ser igual a identidade.

Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1 subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos, finalmente, que G é abeliano.

Oi, Pedro:

Voce demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?

De qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser acertados!
 
É verdade, faltou o final da demonstração. E esse final parece também interessante.
Se n=2 ou 3, então qualquer um daqueles subgrupos é abeliano e acabou. Consideramos n>=4. Então há pelo menos 5 subgrupos distintos.
Se h1 e h2 <> e estão em H, então escolhemos K,V, M e N outros 4 subgrupos (conforme o enunciado) distintos de H.
Então h1 = kv e h2 = mn (onde k,v,m e n <> e estão em K,V,M,N respectivamente, e esse elementos comutam, como vimos antes). Temos então:
 
h1h2 = kvmn = vkmn = ...... = mnkv = h2h1
 
o completa a demonstração. Acho que agora não falte nenhum detalhe.
 
Um abraço. Pedro.

Um abraco,
Claudio.

Achei no começo que precisava usar algum teorema de ação ou algum daqueles teoremas de Sylow, mas no final, só idéias elementares foram necessárias.

Um abraço. Pedro.