Caro Cláudio,
Acho que encontrei uma
solução para aquele problema do grupo abeliano.
Conforme o enunciado existem n+1 subgrupos de ordem
n tais que se H e K forem quaisquer dois deles,
vale:
H inter K =
{e}
Por uma conta direta
usando cardinalidade, que alguém já tinha feito, sabíamos
que
G = HK =
KH
Vamos mostrar agora
que qualquer subgrupo H daqueles do enunciado é normal em G.
Seja h
<> e um elemento de H e g <> e elemento qualquer de
G.
Supomos que
ghg^(-1) = k onde k está
em algum daqueles subgrupos K do enunciado que seja diferente de
H
Mas sabemos que g =
k1h1 para k1 e h1 em K e H, respectivamente.
Então temos
k1h1hh1^(-1)k1^(-1) = k
Logo
h1hh1^(-1) = k1^(-1)kk1
O lado esquerdo está em H e o direito em
K
Logo devem ser iguais a
e.
Concluimos
que
h = k =
e
o que é uma
contradição.
Daí decorre
que
ghg^(-1) não pode
estar fora de H e, portanto, H é normal.
Como isso vale para qualquer
H,
temos que H, K e todos
os outros subgrupos do enunciado são normais em
G.
Agora fica fácil
terminar a demonstração.
Se H e K são subrgrupos normais de G tais que H inter K = {e},
então hk = kh para todo h,k em H e K,
respectivamente.
Basta
ver que
hkh^(-1)k^(-1) =
e, pois
hkh^(-1) está em
K e portanto o lado esquerdo acima está em K.
Da mesma forma
kh^(-1)k^(-1) está em H e, portanto, o lado esquerdo acima também está em H,
concluindo que ele deve ser igual a identidade.
Como H e K podem ser quaisquer daqueles n+1
subgrupos de ordem n do enunciado e como eles cobrem todo G, temos,
finalmente, que G é abeliano.
Oi, Pedro:
Voce
demonstrou que se h e k pertencem a subgrupos distintos de G, entao eles
comutam. Mas e quando h e k pertencerem a um mesmo subgrupo de G?
De
qualquer jeito, acho que a chave foi realmente perceber que os subgrupos sao
normais. Depois eh soh acertar os detalhes...mas eles precisam ser
acertados!
É verdade, faltou o final da demonstração. E
esse final parece também interessante.
Se n=2 ou 3, então qualquer um daqueles
subgrupos é abeliano e acabou. Consideramos n>=4. Então há pelo menos 5
subgrupos distintos.
Se h1 e h2 <> e estão em H, então
escolhemos K,V, M e N outros 4 subgrupos (conforme o enunciado)
distintos de H.
Então h1 = kv e h2 = mn (onde k,v,m e
n <> e estão em K,V,M,N respectivamente, e esse elementos
comutam, como vimos antes). Temos então:
h1h2 = kvmn = vkmn = ...... = mnkv =
h2h1
o completa a demonstração. Acho
que agora não falte nenhum detalhe.
Um abraço. Pedro.