Re: [obm-l] alguma idéia?

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.11.03 14:16, frança luiz at felipenobili@yahoo.com wrote:

> seja T(a) a fun??o q expressa o numero de divisores
> positivos de a , e T*(a)
> , o num de divisores positivos ?mpares de a.
> 
> prove q:
> 
> T(2^n  - 1) >= T(n)   (este eu j? consegui)
> T(2^n  +1)  >= T*(n)  (este ainda n?o consegui)
> 
> alguem tem alguma ideia?
> 
> 

Se d | n, entao 2^d - 1 | 2^n - 1.
Alem disso, d1 <> d2 ==> 2^d1 - 1 <> 2^d2 - 1.
Assim, a cada um dos divisores de n podemos associar um divisor distinto de
2^n - 1. Logo, 2^n - 1 tem pelo menos tantos divisores quanto n, ou seja:
T(2^n - 1) >= T(n).

Seja n = 2^k*m, onde m eh impar. Seja a = 2^(2^k). Claro que a > 1.
Isso implica que 2^n + 1 = a^m + 1.
Agora, como m eh impar, se d | m, entao a^d + 1 | a^m + 1.
Alem disso. d1 <> d2  e  a > 1 ==> a^d1 + 1 <> a^d2 + 1.
Assim, a cada um dos divisores de m podemos associar um divisor distinto de
a^m + 1 = 2^n + 1. 
Mas os divisores de m sao justamente os divisores impares de n.
Logo, T(2^n + 1) >= T*(n).

Um abraco,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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