Re: [obm-l] Duvida!!!

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>Uma duvida conceitual: Eh correto se afirmar que o corpo dos complexos eh
>completo apesar de nao ser ordenado (por exemplo, no sentido de que, em C,
>toda sequencia de Cauchy eh convergente)?

Se nos basearmos na definicao de completude para espacos metricos, a
resposta eh sim, pois, independetemente de ser um corpo o conjunto dos
complexos C eh um espaco metrico com relacao aa metrica Euclidiana. E, com
esta metrica,  toda sequencia de Cauchy de C converge.

Mas se tomarmos a definicao de completude baseada no conceito de supremo, a
qual soh se aplica a conjuntos ordenados,  entao acho que  nao faz sentido
dizer que C eh completo. Esta definicao baseada no supremo nem sequer exige
que o conjunto seja um corpo, basta que seja ordenado (na realidade, acho
que tem que ser totalmente ordenado) . Nao eh preciso definir metricas ou
operacoes sobre o conjunto.

No conjunto dos reais, que eh um corpo bem ordenado e eh um espaco metrico
sob a metrica Euclidiana, as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
- Todo subconjunto nao vazio de R que seja limitado superiormente
(inferiormente) possui supremo (minimo)
- Toda sequencia monotonica e limitada de R converge para seu supremo ou
infimo
- Toda sequencia de Cauchy de R eh convergente.
-  R eh aquimediano
Artur

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