Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) <= MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau 1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ..., a^(n-1).
Eh facil ver que, para m > n, a^m tambem pode ser expresso como uma combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I. sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a) sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) = n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas explicacoes.
Um abraco,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 25 Sep 2003 18:22:48 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico |
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> Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte...
> Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab.
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----- Original Message -----
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
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> Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia...
"Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".