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Re: Re:[obm-l] Ref.: Grau de um numero algebrico



talvez você não tenha percebido, mas o resultado é nas duas direções, ou seja, se a é um número algébrico, então existe uma matriz A tq a é autovalor de A.
 
a idéia é assim, se a é algébrico de grau n então podemos expressar a^n em termos de uma combinação linear de B = {1, a, ..., a^(n-1)}, sendo assim, considere uma matriz A n x n, sendo que as primeiras linhas são:
0 1 0 0 0 0 ... 0
0 0 1 0 0 0 ... 0
0 0 0 1 0 0 ... 0
 
e a última linha são os coef. da combinação linear de B que resulta em a^n.
 
agora tome como vetor v = (1, a, ..., a^(n-1))
 
A.v = (a, a², ..., a^(n-1), a^n) = a(1, a, ..., a^(n-1)) = av
ou seja a é autovalor de A e  v é seu autovetor associado.
 
no link que eu mandei tem essa demonstração e a demonstração de que grau(a+b), grau(ab) <= grau(a).grau(b).
 
[ ]'s
----- Original Message -----
To: obm-l
Sent: Saturday, September 27, 2003 1:12 PM
Subject: Re:[obm-l] Ref.: Grau de um numero algebrico

Oi, Artur:

Na verdade, a afirmativa do Dirichlet eh obvia: o polinomio caracteristico de uma matriz racional (que entendo ser uma matriz quadrada com elementos racionais) tem coeficientes racionais. Assim, suas raizes (os autovalores da matriz) sao, por definicao, numeros algebricos.

Um abraco,

Claudio.