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O Dirichilet sugeriu que uma forma de
chegarmos aas conclusoes que o Claudio deseja eh prova que un mumero eh
algebrico se, e e somente se, for autovetor de alguma matriz racional. Eu me
lembro de que na teoria de matrizes existe um conceito denominado de "companion
matrix to a monic polynomial" (quando eu estudei isto, no milênio passado,
foi no livro do Gantmacher, em Inglês, e nao tive mais chance de trabalhar com
isto), algo como matriz companheira de um polinômio mônico (coeficiente do termo
de mais alto grau =1). Esta matriz (quadrada) eh, com excecao da subdiagonal
principal (formada pelos elementos imediatamente abaixo da diagonal principal)
e da última coluna, composta por zeros. A subdiagonal principal eh composta por
1's e a ultima coluna eh composta pelos simetricos dos coficientes do
polinomio. Sabe-se (nao me lembro como se demonstra) que o polinomio em questao
eh o polinomio mínimo da matriz companheira, isto eh, eh o polinomio monico de
menor grau tal que P(A) = 0, sendo A a matriz e 0, aqui, a
matriz nula. Sabe-se tambem que este polinomio minimo eh o polinomio
caracteristico da matriz. Os autovalores de A sao assim as raizes do polinomio
minimo. Bom, se a eh algebrico, entao a eh raiz
de um polinomio monico P de coeficientes racionais (basta pegar um polinomio de
coeficientes inteiros que admita a como raiz e dividi-lo pelo coeficiente do
termo de mais alto grau). Logo, existe uma matriz quadrada M que eh a
companheira deste polinomio, que eh portanto o pol. minimo de M. Dado que M eh
composta por zeros, 1's e pelos simetricos dos coeficientes do polinomio,
segue-se que M eh racional. Alem disto, temos que os autovalores de M sao as
raizes de P, do que concluimos que a eh autovalor de M (e de qualquer matriz
similar ba M). Isto prova a primeira parte da afirmacao. Por outro lado, se a eh autovalor de uma
matriz racional, entao a eh raiz de seu polinomio caracteristico, cujos
coefcientes sao claramente racionais. Logo, a eh algebrico (a definicao de
numero algebrico, baseada usualmente em
polinomios de coeficientes inteiros, eh claramente equivalente aa obtida
permutando-se "inteiro" por "racional"). Mas eu ainda nao vi como disto chegamos
a conclusoes sobre graus de numeros algebricos. Resta ainda fazer chegar
aas ultimas consequencias... Abracos Artur |