Re: [obm-l] RE: [obm-l] produto termos PA correção

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 25.09.03 03:12, yjl at yjl@bol.com.br wrote:

>>> Me confundi,o que eu quero dizer, é o limite da raiz
> de pi(x)ordem do somatório de todos os primos até x é
> igual a 1.
> Pi(x) é o número de primos até x.
> Alguém pode provar?
> 

Ou seja, se p(n) = n-esimo primo, voce quer provar que:
lim(n -> infinito) (p(1) + p(2) + ... + p(n))^(1/n) = 1

A ideia eh usar o fato de que existe uma constante positiva a tal que:
n < p(n) < a*n^2, para todo n, o que pode ser provado diretamente (com algum
esforco), ou entao a partir do teorema de Chebichev ou entao do postulado de
Bertrand.

Por exemplo, o teorema de Chebichev diz que, para todo x >= 2,
existem constantes positivos c1 e c2 tais que:
c1*x/ln(x) < Pi(x) < c2*x/ln(x).

Desse teorema, deduz-se sem muita dificuldade que, para n >= 2, existe uma
constante positiva b tal que p(n) < b*n*ln(n).

Isso quer dizer que p(n) < (b+2)*n^2, para todo n.

Naturalmente, p(n) > n, para todo n

Assim, para todo n, existe a > 0 tal que n < p(n) < a*n^2.

Somando de 1 a n, teremos:
n(n+1)/2 < SOMA(1<=k<=n) p(k) < a*n(n+1)(2n+1)/6  ==>

n^2/2 < SOMA(1<=k<=n) p(k) < a*n^3 ==>

(n^2/2)^(1/n) < (SOMA(1<=k<=n) p(k))^(1/n) < (a*n^3)^(1/n)

Mas, (n^2/2)^(1/n) e (a*n^3)^(1/n) ambos tendem a 1 quando n -> infinito.

Logo, lim (SOMA(1<=k<=n) p(k))^(1/n) = 1.


Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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