Re: [obm-l] Valores de aderencia

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Achei importante completar umas partes da minha pr�pria mensagem:

On Fri, Sep 19, 2003 at 04:21:46PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> Definimos um arco em S1 da maneira usual (um subconjunto pr�prio n�o
> vazio e conexo de S1) e chamamos o comprimento de um arco A de l(A).
> Dada uma seq��ncia a_n de pontos do c�rculo unit�rio complexo S^1
> e um arco A definimos m(A) = lim inf #{k, k < n, a_k in A}/n
> e M(A) = lim sup ....
> Dizemos que a seq��ncia � uniformemente distribu�da se para qualquer
> arco A temos m(A) = M(A) = l(A)/(2*pi).
> 
> Uma caracteriza��o equivalente � a seguinte:
> para todo m inteiro positivo o limite
> lim_n (1/n) * soma_{k < n} a_k^m
> deve existir e ser igual a 0.

A equival�ncia entre estas duas caracteriza��es n�o � �bvia.
O fato crucial � que podemos aproximar a fun��o caracter�stica
de um arco por um polin�mio de Laurent (ou ainda, que podemos
escrever a s�rie de Fourier para a vers�o periodizada da fun��o
caracter�stica de um intervalo).

> � f�cil ver que as seq��ncias a_n = z^n s�o uniformemente distribu�das
> se z = exp(2*pi*i*t), t irracional.
> 
> O resultado importante � o seguinte. Para cada k defina uma seq��ncia
> auxiliar b_n = a_{n+k}/a_n; se para todo k estas seq��ncias forem
> uniformemente distribu�das ent�o a seq original a_n tamb�m �.

Uma boa refer�ncia para isso tudo �:

Kuipers, L. and Niederreiter, H.,
Uniform distribution of sequences,
Wiley-Interscience, New York, 1974.

Outra refer�ncia para este resultado espec�fico � a tese da Tania Begazo,
minha aluna de doutorado (precisamos do resultado e redemonstramos),
que est� aqui:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/tania.ps

> Usando este teorema e indu��o � f�cil provar por indu��o que seqs da forma
> a_n = z^{p(n)}, p um polin�mio n�o constante de coeficientes inteiros,
> s�o uniformemente distribu�das e em particular tem imagem densa em S^1.
> A afirma��o com cos(n^2) � caso particular.

Bastando olhar para a parte real.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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