[obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Will:

Se voce achou isso interessante, aqui tem mais alguns:

1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a:
[n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ...
onde [x] = maior inteiro <= x.

2) Binom(n,k) eh impar <==>
as representacoes binarias de k e n-k nao tem um algarismo "1" nas mesmas
posicoes <==>
NURB(n) = NURB(k) + NURB(n-k)
one NURB(m) = Numero de 1's na Representacao Binaria de m.

3) Binom(n,k) eh impar para todo k (0<=k<=n) <==> n = 2^m - 1 para algum
inteiro positivo m.

4) Binom(n,k) eh par para todo k (1<=k<=n-1) <==> n = 2^m para algum inteiro
positivo m.

5) Se E_2(n!) = expoente de 2 na decomposicao de n! e NURB(n) eh como
definido acima, entao E_2(n!) + NURB(n) = n, para todo inteiro positivo n.

6) Para todo n, o numero de coeficientes binomiais Binom(n,k) (0<=k<=n) que
sao impares eh igual a 2^NURB(n).

Um abraco,
Claudio.

on 17.09.03 23:21, Will at will@ism.com.br wrote:

> Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contar
> quantos "dois" aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos.
> 
> Encontrei a seguinte sequência:
> 
> 1 (2 contém exatamente um 2)
> 2 (4 contém dois 2...)
> 1
> 3 (8 tem 3, deu pra entender né)
> 1
> 2
> 1
> 4
> 1
> 2
> 1
> 3
> 1
> 2
> 1
> 5
> (...)
> 
> Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi
> em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em
> posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !!
> Ex:
> Somando até 4:
> 1+2 = 3
> 
> Somando até 8:
> 1+2+1+3 = 7
> 
> Somando até 32:
> 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31
> 
> Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado,
> já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de
> 4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em
> binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma
> (11111111....)base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo
> 2^n -1 !!
> 
> Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas
> achei válido mandar pra lista assim mesmo :-))
> 
> Saudações
> Will
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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