Re: [obm-l] Funcao F:P(A) -> P(A)

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
wrote:
>
> > Olá Pessoal!
> >
> > Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não
estou
> > conseguindo resolver.
> >
> > Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma
função
> > f:P(A)->P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos
de
> > P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que
F(União
> > X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i).
> >
> > Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X.
> >
> Oi, Duda:
>
> Sabemos que, para todo i:
> X_i estah contido em Uniao X_j
> e
> Interseccao X_j estah contido em X_i.
>
> Isso quer dizer que, para todo i:
> F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i)
> e
> F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j).
>
> E portanto:
> F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j)    (1)
> e
> Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j)    (2)
>
> *****
>
> Por outro lado, para todo i:
> F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j)
> e
> Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i)


Valeu Cláudio!

Não sei como não cheguei neste segundo argumento.

Duda.


> Assim, para todo i:
> F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i
> e
> F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j))
>
> Logo:
> F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j
> e
> Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j))
>
> E portanto:
> F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j)))
> e
> F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j)
>
> E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos:
> F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j)   (3)
> e
> Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j)   (4)
>
> *****
>
> Finalmente:
> (1) e (4) ==> F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j)
> (2) e (3) ==> F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j)
>
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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