[obm-l] Re: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

faça assim, seja n = 100a + 10b + c = a³ + b³ + c³ (a, b, c dígitos, a > 0)

caso c <= 8

    n + 1 = 100a + 10b + c + 1 = a³ + b³ + (c+1)³

    <=> 3c² + 3c = 0 <=> c = 0

    n = 100a + 10b, 10 | (a³ + b³ )

 

note que (1³, 2³, 3³, ..., 9³) = (1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9) mod 10

ou seja, se fixarmos um valor para b, só há um valor que possa satisfazer a congruência módulo 10, então precisamos testar não mais do que dez pares de valores a, b...

um ex. pra vc pegar a idéia: se testarmos b = 2, então a = 8, pois 8³ + 2³ = 0 mod 10, mas 820 != 8³ + 2³ ...

já b = 7 nos força a = 3 e 370 = 3³ + 7³.

 

para o caso c = 9 devemos ter:

    b < 9, se não a³ + b³ + c³ > 2*9³ > 1000

    logo n = 100a + 10b + 9 = a³ + b³ + 9³

    e n + 1 = 100a + 10(b + 1) = a³ + (b + 1)³ = n - 9³ + 3b² + 3b + 1 <=> 3b² + 3b = 9³, mas

    3b² + 3b < 330 < 9³, logo não há pares consecutivos tricúbicos aqui...

 

[ ]'s

 

 

Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas:

Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa.

 

Problema 1

Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.