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1) Prove que, se (a1, a2, a3, ..., an) é P.A., com n
> 2, então {(a2)^2 - (a1)^2, (a3)^2
- (a2)^2, (a4)^2 - (a3)^2, ..., (an)^2 - [a(n-1)]^2} também
é. Para
todo n>=2 temos que b(n)=(a(n))^2 - [a(n-1)]^2 = [a(n) –a(n-1)] [a(n)+a(n-1)]
= r [a(n)+a(n-1)], sendo r a razão da PA
original. Logo, b(n+1) – b(n) =...... agora fica facil, certo? 2) Prove que, se uma P.A.
apresenta am = x, an = y e ap = z, então verifica-se a relação: (n-p)x + (p-m)y +
(m-n)z = 0. Temos
que (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = n(x-z)
+ p(y-x) +m(z-y). Pelas propriedades das PAs, x-z = r(m-p), y-x=r(n-m) e z-y=r(p-n). Logo, (n-p)x + (p-m)y + (m-n)z = r[nm-np+pn-pm+mp-mn]
= 0 3) Prove os termos de uma P.A. qualquer em
que 0 nã participa verificam a relação: 1/a1.a2 + 1/a2.a3 + 1/a3.a4 + ... + 1/a(n-1).an = (n - 1)/a1.an Supondo
r<>0, Para todo k>=1, temos que 1/(a_k+1 . a_k) = 1/(a_k+1 – a_k) [1/a_k – 1/a_k+1]
= 1/r [1/a_k – 1/a_k+1], Temos
assim uma soma telescopica, ou seja 1/r [1/a_1 – 1/a_2 +1/a_3 – 1/a_2.....+1/a_n-1
-1/a_n] = 1/r [1/a_1 – 1/a_n] = (a_n – a_1)/(r a_1 a_n). Mas a_n –
a_1 = (n-1)r, o que nos leva aa expresao dada. Se
r=0, os termos da PA sao identicos e a conclusao eh imediata. Eu
ajudei, mas vc podia pensar um pouco mais, certo? Artur |