[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria e Prdutório

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Aug 25, 2003 at 04:10:58PM -0300, cfgauss77 wrote:
>  Gostaria que me ajudacem, se possível, determinar o 
> valor do seguinte produto.
> 
>   sen(Pi/n)*sen(2Pi/n)*sen(3Pi/n)*...*sen((n-1)Pi/n)

Um clássico.

Seja z = exp(2 pi i/n).
Considere o polinômio
 P(x) = (x^n - 1)/(x - 1)
      = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1
      = (x - z)(x - z^2)...(x - z^(n-1))
Temos
 P(1) = n = (1 - z)(1 - z^2)...(1 - z^(n-1))
Mas claramente |1 - z^k| = 2*sen(k pi/n) donde temos
 n = |P(1)| = 2^n * sen(pi/n) * sen(2 pi/n) * ... * sen((n-1) pi/n)
e o seu produtório é igual a n*2^(-n).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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