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Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ah, ok! Acabo de encontrar o enunciado do Teorema de Bolzano, que prezumo,
era o que vc havia se referido:
Sejam P(x) um polinômio a coeficientes reais e a < b números
reais. Se P(a) . P(b) >0 então P(x) tem um no par ( podendo ser = 0 )
de zeros reais no intervalo aberto ( a , b ) e se P(a) . P(b) < 0, P(x)
tem um número ímpar de zeros em ( a , b ).
Segue a demonstração:
Podemos supor P(x) não constante( pois no caso cte nada temos a provar ) e
mônico ( por simplicidade ). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, podemos
fatorar P(x) completamente em fatores "lineares":
P(x) = ( x-a1) . ( x-a2 ) ... ( x - ak ) . (x - z1 ) ... (x - zm) .
Em que os ai´s são reais e os bj´s complexos não-reais e são as
raízes de P(x)=0.
OBS: Se P(x) não tiver raiz real então P(x)>0 para todo x real e tudo
bem. Dessa forma podemos assumir que P(x) tenha alguma raiz real.
Mas tb sabemos que as raízes complexas não-reais só aparecem aos pares, z e
conjugado de z , pois P(x) tem coef. reais. Daí, podemos reescrever :
P(x) = (x - a1)...(x - ak). Q(x) , com Q(x) >0 para todo x real =>
P(a) . P(b) = ( a - a1) ... ( a - ak ) .( b - a1) ... ( b - ak). Q(a).
Q(b) .
Se a < a_i < b => a - a_i <0 e b - a_i >
0 .
Se a_i < a => a - a_i > 0 e b - a_i
> 0 .
Se a_i > b => a - a_i< 0 e b -
a_i < 0 .
Desta forma, se a_i é uma raiz de P(x) no intervalo (a, b ) => (
a-a_i). (b-b_i)<0 . Caso contrário, (a-a_i). (b -a_i) >0 . Decorre que se
P(a).P(b) > 0 => o número de raizes reais de P9x) em (a,b) é
necessariamente par e se P(a). P(b) <0 => o no de raízes reais de P(x) em
(a,b) é necessariamente ímpar.
Abraços a todos.
Frederico.
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
>Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +0000
>
>Ola Pessoal,
>
>Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
>Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
>com
>pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
>do
>ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
>um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
>forma que
>qualquer pessoa possa entender.
>
>Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
>a
>prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
>aqui, por
>obvias razoes.
>
>A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
>everdade
>que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
>seu modulo
>e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
>este
>absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
>modulo do
>polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
>evidenciara
>o absurdo. O resto e detalhe.
>
>Segue a Prova de Cauchy :
>
>Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
>qual os
>coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
>uma
>variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
>
>P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
>
>Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
>
>Como, por definicao, modulo( P(X) ) >= 0. Segue que M >= 0. Portanto, M
>pode
>ser
>
>PRIMEIRO CASO : M = 0.
>
>Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
>P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
>
>SEGUNDO CASO : M > 0.
>
>Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
>plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
>na
>circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
>vetor,
>soma dos vetores :
>
>Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
>Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
>
>Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
>
>Z = Z0 + Z1
>
>Calculando agora P(Z), teremos :
>P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
>+ An
>Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
>Binomio
>de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
>An nas
>quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
>Z1 :
>
>1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
>A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
>2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
>BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
>onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
>
>Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
>P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
>onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
>
>Claramente que dependendo dos Ai originais, de "n" e do valor de Z0, alguns
>destes
>Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
>polinomio em Z1
>resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os Bi
>por C's,
>teremos algo semelhante a :
>
>P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
>
>Nesta ultima expressao acima :
>
>1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
>2) a < b < c < ... < w, em virtude da ordenacao
>3) p <= n, obvio.
>
>Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
>P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
>Como estamos supondo P(Z0) > 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
>
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
>Fazendo C1/P(Z0) = k :
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
>(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
>
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
>onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
>
>Claramente que sao numeros complexos tanto "k" quanto Z1, podendo portanto
>serem
>colocados na forma trigonometrica, isto e :
>
>k = P*( cosQ + i*senQ ) e Z1 = R( cosS + i*senS )
>Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + Z1*F(Z1)
>)
>
>PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna
>modulo( P(Z) )
>minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois
>C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO
>na circunferencia do circulo de centro Z0 e raio R. Portanto, QUALQUER QUE
>SEJA Z0, podemos escolher Z1 de forma que Q + aS = pi, qualquer que seja o
>natural "a". Assim, existe Z1 tal que Q + aS = pi.
>E como Z = Z0 + Z1, podemo dizer que EXISTE Z tal que Q+aS = pi.
>
>Fazendo a substituicao :
>
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(pi) + i*sen(pi) )*( 1 + Z1*F(Z1) )
>P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 - P(R^a)*( 1 + Z1*F(Z1) ) = 1 - P(R^a) -
>P(R^a)*Z1*F(Z1) )
>
>Aplicando modulo nos dois lados :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) = modulo ( 1 - P(R^a) - P(R^a)*Z1*F(Z1) ) )
>
>A desigualdade modulo(a-b) =< modulo(a) + modulo(b) aplica-se tambem aos
>numeros
>complexos. Aplicando-a :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) =< modulo ( 1 - P(R^a) ) + modulo(
>P(R^a)*Z1*F(Z1) )
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) =< modulo ( 1 - P(R^a) ) +
>P(R^a)*modulo(Z1)*modulo(F(Z1) )
>
>mas modulo(Z1) = R. Assim :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) =< modulo ( 1 - P(R^a) ) +
>P(R^a+1)*modulo(F(Z1) )
>
>PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI. Nos tomamos um Z=Z0+Z1, isto e, escolhemos
>um Z0 de forma que Q+aS = pi. Ora, Z e um ponto da circunferencia do
>circulo de centro
>Z0 e raio R. Portanto, se diminuirmos R e mantivermos a direcao de Z
>estaremos, de fato, como que fazendo um corte no circulo original de raio R
>... Isso ( a dimuicao de R ) vai diminuir
>P(R^a) e P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ), pois "a" e um numero natural fixo e R
>esta diminuindo. Claramente que INEVITAVELMENTE P(R^a) se tornara maior que
>P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) para algum R suficientemente pequeno. Quando isto
>ocorrer :
>
>modulo ( 1 - P(R^a) ) + P(R^a+1)*modulo(F(Z1) ) < 1. Seguira que :
>
>modulo( P(Z0+Z1) / P(Z0) ) < 1 => modulo( P(Z0+Z1) ) < modulo(
>P(Z0)) ... ABSURDO !
>Pois modulo(P(Z0)) e minimo !
>
>Esse absurdo derivou do fato de postularmos que modulo(P(Z0)) > 0. Assim,
>esta tese e
>insustentavel e temos que admitir que :
>
>modulo(P(Z0)) = 0 => P(Z0) = 0, isto e :
>
>TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA : Toda equacao polinomial de qualquer grau N
>e com quaisquer coeficientes complexos tem uma raiz.
>
>A PRIMEIRA IDEIA DE GAUSS : Em sua primeira demonstracao ( tese de
>doutorado ) Gauss substitui cada numero complexo pelo binomio "a+bi" e
>divide o polinomio em duas funcoes de duas variaveis : Real(a,b) e
>Complexo(a,b). A seguir, tecendo consideracoes geometricas ele mostra que o
>sistema :
>
>Real(a,b) = 0 e Complexo(a,b) = 0
>
>Necessariamente tem uma solucao. Ele nao ficou satisfeito e tentou ffazer
>uma prova estritamente algebrica, mas nao conseguiu. Segundo Jean
>Dioudonne, Matematico frances do Grupo Boubarki, o TFA depende
>necessariamente de consideracoes topologicas e, portanto, a pretensao de
>Gauss era infundada.
>
>O TFA tem muitas implicacoes. Uma, conhecida como TEOREMA DE BOLZANO, e
>muito bonita. Alguem gostaria de mostrar esta implicacao ?
>
>Um Abraco a Todos
>Paulo Santa Rita
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