Prove que:se a,b e c são lados de um triângulo e
satisfaz a sentença a^2+b^2+c^2=9r^2, onde r é
o raio da circunferência circunscrita, então esse triângulo é
eqüilátero.
1a. Solução (esperta):
Usando o fato de que a distância entre circuncentro
O e o baricentro G de um triângulo é igual a R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 temos
que O = G e segue diretamente que o triângulo é
equilátero.
2a. Solução (lusitana):
Pela Lei dos Senos a/R = 2.sen A, b/R =
2.sen B e c/R = 2.sen C.
Assim: 9 = 4.sen^2 A + 4.sen^2 B + 4.sen^2 C =
2 - 2.cos 2A + 2 - 2.cos 2B + 2 - cos 2C
=>
cos 2A + cos 2B + cos 2C = -
3/2 agora é braço, use trigonometria para provar
que a única solução desta equação é A = B = C.
Falou,
Marcelo Rufino de Oliveira