Re: [obm-l] Sugestao para solucao

[Marcio <mmrocha1@xxxxxxxxxx>]

on 7/6/03 10:28 PM, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
hpsbranco@superig.com.br wrote:

>> 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh
> comutativo.
>> A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x +
> y.
>> Desenvolvendo, temos:
>> x.x + x.y + y.x + y.y  = x + y.
>> x^2 + x.y + y.x  +  y^2 = x + y.
>> Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a
>> xy = -(yx)
>> Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei?
> 
> Olha, eu entendo tanto de corpos, anéis e similares quanto um botânico
> entende de fusão de metais a frio. Então, se minha pergunta for muito
> idiota, peguem leve...
> Não dá pra resolver x^2 = x e ver que os únicos elementos desse anel são 0 e
> 1? Claramente, a adição e multiplicação aí são comutativas. Será?
> 
> Abraços,
> Henrique.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Ola, Henrique,

Valeu a tua boa vontade em ajudar!

Apesar de voce nao entender de aneis, penso que voce vai entender poque nao
eh possivel resolver a equacao como voce propos. Veja:

Quando voce resolve x^2 = x, voce chega a

x^2 - x = 0, e depois a
x. (x - 1) = 0, concluindo que x = 0 ou x = 1.

Ao resolver esta equacao no conjunto, por exemplo, dos inteiros (e que,
alias, eh um ANEL), voce se baseou em dois fatos relativos a ESTE conjunto
em particular, quais sejam:
(i) que, para todo x inteiro, x.1 = 1.x = x. (Um anel onde isto eh valido eh
chamado ANEL COM UNIDADE.)
(ii) que, para todos x e y inteiros, se x.y = 0, entao x = 0 ou y = 0. (Um
anel onde isto eh valido eh chamado de ANEL DE INTEGRIDADE.)

O problema, Henrique, eh que existem conjuntos onde (i) e (ii) nao sao
validos. Tome, por exemplo, o conjunto dos numeros pares, e voce verah que
ele nao possui neutro para a multiplicacao (chamado elemento unidade). Agora
tome o conjunto formado por pelos restos da divisao de qualquer inteiro por
6. Neste conjunto, o numero 14 seria designado por 2 (que eh o resto da
divisao de 14 por 6) e o numero 15 seria designado por 3 (resto da divisao
de 15 por 6). Se voce multiplicar 14 por 15 (ou seja, 2 por 3 no referido
conjunto) voce vai obter 210, que divido por 6 deixa resto 0 (ou seja, no
tal conjunto 2.3 = 0, no entanto, 2 nao eh igual a 0 nem 3 eh igual 0).

Como, no problema, x eh uma elemento de uma anel qualquer, nao podemos
resolver a equacao como voce propos.

Ficou complicado? Eu fiz questao de escrever soh por causa da tua intencao
de ajudar, mas se compliquei muito, me desculpa.

Pro caso de voce querer saber mais, o livro "Introducao a Algebra", do
Adilson Goncalves, pode ser util. Tambem o do Abramo Hefez, "Curso de
Algebra". Os dois podem ser encontrados na pagina da SBM.

Um abraco.

Marcio Rocha.

P.S. Como tem outro Marcio na lista, eu estou me acostumando a assinar
Marcio Rocha, mas as vezes me esqueco.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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