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[obm-l] Re:
Ola Faccast,
Eu nao conhecia os QUADRADOS LATINOS e, consequentemente, o fato de que a
contagem deles representa um problema nao trivial. CONCORDO contigo que a
primeira linha de investigacao e a ideia que ocorre imediatamente a cabeca
de quem pensa no problema. Foi assim comigo e creio firmemente que seria
assim com qualquer outra pessoa que pensasse seriamente na questao.
NAO CONDORDO, a priori, de que trata-se de um caminho complicado ...
Respeito a sua sensibilidade em face da questao, mas a minha esta dizendo
justamente o contrario. Talvez isso seja fruto de minha inexperiencia, mas a
verdade e que todos nos temos um Prof interior e esoterico e o meu esta
forcejando para que eu trate o problema com mais seriedade, adotando a linha
de investigacao das permutacoes caoticas.
A razao para esta sensacao talvez seja a seguinte :
Eu me lembro da prova original do Nicolau Bernoulli acerca das permutacoe
caoticas, que devo ter lido num dos tomos das obras completas do Euler. E
muito bonita. Em linhas gerais, ele admite que N elementos se permutam-se de
N!, supoe a existencia da funcao que procura e recai numa equacao de
recorrencia. A partir desta equacao de recorrencia ele chega facil a :
Pn = N!( 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - ... +- 1/(N!) )
Todavia, o que ele nao viu ou, ao menos, nao registrou, e que o raciocinio
que ele adota pode ser feito duas vezes, isto e, admita-se que N elementos
podem ser permutados de N! maneiras e que esses mesmos N elementos geram Pn
permutacoes caoticas, entao e possivel aplicar a mesma logica para gerar uma
equacao de recorrencia que culmina na expressao geral daquilo que em minha
mensagem anterior eu chamei de permutacao caotica de 3 especie.
Claramente que ha detalhes a serem esclarecidos, mas esta e a parte
burocratica de toda pesquisa e coisas de somenos importancia. Se, mesmo com
estas consideracoes, nao balancei a sua crenca na complicacao da primeira
linha de investigacao, atente para o seguinte ( usarei C(N,P) dara indicar
as permutacoes caoticas de P-esima especie ) :
C(N,1) = N!
C(N,2) = Pn = N!( 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - ... +- 1/(N!) )
C(N,P), 2 < P < N nao conhecemos
C(N,N) = 1
Podemos por estas coisas assim :
C(N,1) = N! = N!*(1/1!)
C(N,2) = Pn = N!( 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - ... +- 1/(N!) )
C(N,P), 2 < P < N nao conhecemos
C(N,N) = 1 = N!(1/(N!))
Isso nos leva a desconfiar que C(N,P) talvez tenha a cara :
C(N,P) = N!*( 1/(P!) - ... )
De fato, eu fiz alguns calculos preliminares e encontrei :
C(N,3) = N!(1/(3!) - 2/(4!) + ... )
Mas nao confirmei isso com uma demonstracao e nao pensei mais na questao.
Todavia, bem se ve que o problema especifico das PERMUTACOES CAOTICAS DE
DIVERSAS ESPECIES flanqueia varias linhas de ataque, podendo tranquilamente
ceder a uma delas. Quando eu escrevi a primeira mensagem eu sabia que
intimamente muitas ou algumas pessoas pensariam assim, pois um passado de
dificuldades pesa em nossas ponderacoes quando enveredamos por alguma linha
de investigacao, mas eu tinha os fatos que estou te apresentando agora,
razao pela qual resolvi citar este caminho.
Finalmente, e inegavel que e muito gostoso e atrativo imaginar que, alem de
dar um novo direcionamento a uma questao conhecida, estaremos
concomitantemente nos ligando a Euler e Nicolau Bernoulli, completando assim
um trabalho que foi iniciado por eles em um passado remoto.
Estas as minhas razoes. Mas francamente ainda nao decidi se dou maior
importancia a questao. Voce tem alguma motivacao mais forte para pensar
nestas coisas ? A solucao desta questao traria algum esclarecimento
importante nalgum problema de maior envergadura ?
CONCORDO com voce que : QL(N) = (N-1)!* N!* F(N) e a maneira "QUE GERALMENTE
SE PENSA QUANDO NOS DEPARAMOS COM O PROBLEMA" por este angulo, mas, se bem
entendi a sua argumentacao, isso pressupoe que a cada classe de equivalencia
estao associados F(N) outros quadrados latinos, que e justamente o que eu
suspeito fortemente que nao acontece ...
Uma prova indireta disso e que a forma QL(N) = (N-1)!*N!*F(N) e justamente o
ponto onde o problema esta atualmente e vem gerando fatores tao complicados
que o caso N=10 so foi calculado em 1990, conforme nos relatou o Prof
Nicolau Saldanha. E por que isso vem ocorrendo ? Muito provavelmente porque
o pessoal enveredou pelo pressuposto que assinalei acima. Se os caras
estivessem num bom caminho, as coisas nao se complicariam tanto. Voce deve
saber, mais que eu, que Matematica de qualidade se reconhece pela sua
simplicidade e beleza, nao por forca bruta e sufoco, tal como estao as
coisas atualmente neste dominio.
Eu so nao afirmo de forma absoluta porque, conforme ja te falei, me ocupei
da questao alguns poucos minutos, quando a li na sua mensagem a esta LISTA
DE DISCUSSAO. Eu "sinto" fortemente que os demais quadrados latinos surgem
de COMBINACOES notaveis ENTRE AS CLASSES, nao das classes. Essa diferenca e
sutil mas pode ser importante ... Por esta razao coloquei :
QL(N) = (N-1)!N! + F(N), F(N)=somatorio Ai*G(N,i)
Bom, conforme ja falei, respeito a sua sensibilidade, mas a bem da verdade e
certo que tudo isso sao meras suposicoes. A intuicao nos guia num primeiro
momento, mas depois e inevitavel enfrentar o caminho nem sempre florido da
demonstracao. O certo e tratar diretamente a questao, fazer experiencias e
observacoes e so entao levantar hipoteses de trabalho.
Caro Faccast, a questao que voce trouxe e - como diria o Dr Tchurmann -
"Interessant, sehr interessant !". E seja bem-vindo a LISTA OBM-L !
Com os melhores votos
de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
6,2115,040703
>From: faccast@impa.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Date: Fri, 4 Jul 2003 17:30:13 -0300
>
> Paulo, sua 1a. investigação é o que geralmente se pensa quando nos
>deparamos
>com o problema e acho que este é um caminho complicado. A segunda, segue do
>fato que a Tábua de um Grupo finito é um Quadrado latino (QL). Eu diria que
>em
>vez de
>"QL(N) = (N-1)!N! + F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos"
>fosse
>"QL(N) = (N-1)!N!.F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos"
>pois
>considerando que, dois QL's estao relacionados quando diferem-se por
>permutaçoes de filas, temos uma relaçao de equivalencia onde cada classe
>possui
>exatamente n!(n-1)! e a funçao F(n) entraria com a contagem destas classes
>dando um total de (N-1)!N!.F(N) QL's de ordem N. Note que permutando as
>filas
>de um QL obtem-se novos QL's e com isto, fica fácil cheger ao cardinal
>n!(n-1)!
>das classes.
>
>Um abraço,
>
>faccast
>
>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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