Re: [obm-l] Raizes reais

[Manuel Valentim Pera <mane@xxxxxxxxxx>]

Boa noite,

  Sem fazer quase nenhuma conta.

 (i) Veja que x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = x(x^2+3x+3) - 1. Como x^2+3x+3 > 0,
para todo x real, e'claro que, se x<=0, entao x^3 + 3x^2 + 3x - 1 < 0.
 
  (ii) Por outro lado, no intervalo (0,+infinito) x^3 + 3x^2 + 3x - 1 e'
estritamente crescente, logo nesse intervalo o polinomio dado tem apenas 1
raiz real.

  Segue-se de (i) e (ii) que x^3 + 3x^2 + 3x - 1 tem uma unica raiz real
que e' estritamente positiva.

  Entao a soma das raizes reais e' exatamente a unica raiz real.

  Agora, lembre que esta e' uma questao teste e verifique, por inspecao
das alternativas que, -3 e 1 - 2^(1/3) nao sao estritamente positivos,
logo nao sao raizes; 3 nao e' raiz (pois o unico racional estritamente
positivo que poderia ser raiz desse polinomio e' 1), 1 nao e' raiz (ta'
bem para isso voce tem que fazer um "calculo", que nao e' la' tao
dificil). Entao resta so' a alternativa (D)... 


  Se voce nao for jesuita, e quiser um jeito mais estilo forca bruta,
poderia ter feito assim, lembre que e' teste, veja que a alternativa (D)
da' uma raiz do polinomio (verificacao direta, mas fazendo mais contas do
que acima). Entao dividindo o polinomio dado por x - (2^(1/3) - 1)
encontrara um polinomio do segundo grau sem nenhuma raiz real (essa parte
e' um pouco mais chata, mas as contas sao todas elementares, embora
chatas). Entao a unica raiz real e' (D), que tambem e' a soma.

Garcia

On Thu, 3 Jul 2003, Rafael Ando wrote:

> Essa eh uma questao da 1ª fase do obm de 1998, 1ª fase (nivel 3).
> 
> 24. A soma das raízes reais de x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0 eh:
> 
> a)-3
> b)1 - 2^(1/3)
> c)1
> d)2^(1/3) - 1
> e)3
> 
> A resposta eh D, mas eu naum consegui fazer... alguem pode me ajudar (por 
> favor, sem usar a fórmula da resolução de eq. 3° grau...)
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