Re: [obm-l] 2 questoes

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

1) O primeiro problema me parece mal formulado. Entendendo que o 
enunciado´seria:
" Dado um no racional a/b não-nulo e diferente de 1, existe n>=2 inteiro tal 
que raiz n-esima de a/b é irracional.", uma demonstração pode ser a 
seguinte:

Indiquemos a raiz n-ésima de   x   por   R_n(x)  .

Podemos tomar   x = a/b , com a e b coprimos ( isto é, sem fator comum ) . 
Podemos supor   a > 0, pois  caso a<0, tome n=2.  Suponha também  a <>1.  
Neste caso,  a   admite uma fatoração única . Seja  p    um fator primo 
qualquer  de   a ( note que  p não pode ser fator de b   ! )   e seja    m   
  o expoente de    p    na fatoração de   a . Tome         n = m+1. Então   
R_n (x ) é irracional. De fato, supondo   R_n(x) = c/d , com  c  e  d  
coprimos, decorre que    a/b = c^n/d^n =>  ad^n=bc^n . Como  a  e  b são 
coprimos, cada fator primo de a, em particular  p,  deve dividir   c ( logo 
não pode dividir  d  !!! )  e, portanto, p^n  divide    bc^n =>  p^n  divide 
   ad^n   => p^n divide  a. Absurdo! A maior potência de  p  que divide  a  
é p^m   e       m = n-1

Se  a = 1, repita o procedimento acima para   b .

2)   f(x) = | -8 - 3 sen(x) |   .    -1 <=sen(x) <=1        =>     -11 <= -8 
-3sen(x) <= -5 , o primeiro valor atingido quando sen(x)=1   e o segundo 
quando sen(x)=-1, portanto quando    x=pi/2  e  x= -pi/2, respectivamente.  
Como   g(x)=-8-3sen(x)   é uma função continua, decorre do TVI , que  a 
imagem de   g(x)   é o intervalo fechado  [-11 , -5 ] . Logo, a imagem de  
f(x)=|g(x)| = [0, 11] .

Tente  um procedimento análoga para a outra função.

Um abraço,
Frederico.

>From: Faelccmm@aol.com
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] 2 questoes
>Date: Sun, 22 Jun 2003 11:59:04 EDT
>
>Ola pessoal,
>
>
>
>
>
>Como resolver estes:
>
>
>
>
>
>1) Prove que, dado um número racional a/b e umnúmero natural n maior ou
>
>igual a 2, nem sempre raiz enésima de a/b eh racional.
>
>
>
>
>
>
>
>2) Qual o conjunto imagem das seguintes funcoes:
>
>
>
>a) Æ’(x)=|-8-3senx|
>
>
>
>b) Æ’(x)=|-2+3cosx|
>
>
>
>

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