Re: [obm-l] Derivadas

["Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <hpsbranco@xxxxxxxxxxxxxx>]

>   Estou com um problema:
>   Sei que a derivada de y=f(x) no ponto de abcissa xo é o coeficiente
> angular da reata tangente à função y=f(x) no ponto P(Xo,yo).
>   Gostaria de saber o que significaria a derivada segunda de xo, a
derivada
> terceira de xo, a derivada n de xo, em relação a função original.
>   Agradeço a ajuda,
>                              Thiago

Thiago,

As derivadas nos mostram taxas de variação e as derivadas segunda, terceira,
n-ésima nos ajudam a estudar melhor a função, conforme pontos de máximo,
mínimo, inflexão etc. Nosso outro amigo já te mandou uma interpretação
física da questão, mas vou arriscar uma matemática (sou aluno de Cálculo II,
portanto...).

Digamos que tenhamos uma função f:R -> R definida por f(x) =  x^3 - 3x^2 +
6.
Derivando a primeira vez, temos f'(x) = 3x^2 - 6x e, novamente, f''(x) =
6x - 6.
Vemos que a derivada primeira é zero em x = 0 e x = 2 e a segunda derivada é
zero apenas no ponto x = 1.
Através dessas derivadas e de suas raízes podemos estudar a função f em
relação a seus intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos
e pontos de inflexão.
Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, é só estudar o
sinal da derivada primeira nos intervalos (-inf,0), (0,2) e (2, +inf),
tomando um x abitrário em cada um desses intervalos e calculando o valor
(pelo Teorema do Valor Intermediário, ela terá o mesmo sinal em todo o
intervalo). Onde ela for positiva, a função f é crescente e, claro, onde ela
for negativa, a função f é decrescente.
A derivada segunda nos indica a concavidade os pontos de inflexão.
Calculando o valor em um ponto dos intervalos (-inf, -1) e (-1, +inf), vemos
o seu sinal. Onde a derivada segunda for positiva, a concavidade da função é
para cima e, se for negativa, a concavidade é para baixo. Se a concavidade
mudar nesses intervalos, x = 1 é ponto de inflexão.
E assim, por diante, se f'(x0) = 0 e f''(x0) < 0, x0 será ponto de máximo e
para f'(x0) = 0 e f''(x0) > 0, x0 será ponto de máximo.
As outras derivadas servem para identificação do comportamento da função
também. Por exemplo, se f'(p) = f''(p) = f'''(p) = 0 e f(4)(p) diferente de
zero, p, será ponto de máximo local se f(4)(p) < 0 e será ponto de mínimo
local caso contrário (isso é Guidorizzi, "Um Curso de Cálculo - Volume I"),
fora outras relações.

É isso, espero que tenha dado uma luz...

Abraços,
Henrique.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================