Re: [obm-l] 2 Problemas

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

    Caros colegas,
    Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
www.impa.br/~gugu/ChebSum.ps ) uma nota que prova que o polinomio maximo do 
problema 2 do Duda e' o n-esimo polinomio de Chebyshev P_n (na nota eu chamo
de T_n), como eu mencionei abaixo (de fato eu enunciei um 
resultado um pouco mais geral); sobre o modulo maximo dos coeficientes
tambem e' o P_n - isso ja' era conhecido (ver o livro do Rivlin citado na
nota), e tambem segue da prova do teorema da nota. A prova e' relativamente 
elementar: eu so' uso interpolacao de Lagrange. Como eu nao achei esse 
resultado na literatura, acho que vou submeter a alguma revista para ver o 
que acontece (em particular para ver se isso ja' e' conhecido ou nao...).
    Abracos,
            Gugu

P.S.: Alguem fez os exercicios que eu propus na mensagem abaixo ? 

>
>   Caro Duda,
>   O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o
>maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e'
>definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia
>P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos
>modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2
>(note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)).
>   Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais
>popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1
>tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem
>modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio
>provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de
>x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n).
>   Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que
>a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que
>|P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). Eu
>acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais trabalho.
>   Abracos,
>           Gugu
>
>    
>>
>>Caros colegas da lista,
>>
>>tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O
>>segundo é sobre polinômios. Lá vão eles:
>>
>>Problema 1.  O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática,
>>deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou
>>seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois
>>estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares.
>>Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que
>>partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons
>>resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais
>>natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre
>>estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de
>>estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão
>>finita.
>>
>>A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato,
>>pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de
>>características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.),
>>se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí
>>retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua
>>num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande
>>visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na
>>minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica
>>que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino
>>ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata
>>dessas experiências?
>>
>>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de
>>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que
>>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles
>>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo?
>>
>>Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de
>>fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o
>>máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta
>>simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo.
>>
>>Um Abraço a todos,
>>Duda.
>>
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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