Re: [obm-l] geometria plana

TRIGONOMETRIA!!!!

Rafael <matduvidas@yahoo.com.br> wrote:

Olá Daniel!

--- Daniel Pini escreveu:
> Duas circunferencias de raios R e r cortam-se
> ortogonalmente. Traça-se a tangente externa BC ( B e
> C pontos de contato). Calcular o raio da
> circunferencia que é tangente externamente às duas
> primeiras e tangente a reta BC.
> R: Rr/2(R+r+2(Rr)^1/2)

Tenho aqui a resolução de uma questão semelhante, mas
ao invés de um ângulo de 90° as circunferências se
cortam sob um ângulo de 120°. Veja se com essa
resolução você consegue fazer a sua que é semelhante.

Questão: Duas circunferências de raios R e r
cortam-se sob um ângulo de 120º. Traça-se a tangente
comum externa AB(A e B pontos de contato). Determine
o raio da circunferência que é tangente às duas
primeiras e tangente à reta AB.

Olhe para a figura 2circ120grau.gif que enviei. A
circunferência de centro O tem raio R, a
circunferência de centro o (minúsculo) tem raio r e a
circunferência tangente às outras duas e à reta AB tem
centro X e raio x. O ponto D é um dos pontos de
intersecção entre as duas circunferências de centros O
e o.

Basicamente usaremos o fato de que os segmentos MN e
Co são congruentes. Para calcularmos Co precisamos da
medida de Oo, que podemos achar usando a lei dos
cossenos no triângulo ODo:
Oo² = OD² + Do² - 2.OD.Do.(cos 120°)
Oo² = R² + r² - 2.R.r.(-1/2)
Oo² = R² + r² + Rr

Podemos agora calcular o tamanho de Co através do
Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OCo:
OC² + Co² = Oo²
(R - r)² + Co² = R² + r² + Rr
Co = raiz(3Rr)

Agora podemos achar o comprimento dos segmentos MX e
XN pelo teorema de Pitágoras nos triângulos OMX e oNX
respectivamente:
- No OMX
OM² + MX² = OX²
(R - x)² + MX² = (R + x)²
MX = 2.raiz(Rx)

- No oNX
oN² + XN² = oX²
(r - x)² + XN² = (r + x)²
XN = 2.raiz(rx)

E agora como MX + XN = MN:
MN = Co
MX + XN = Do
2.raiz(Rx) + 2.raiz(rx) = raiz(3Rr)
2.raiz(x).[raiz(R) + raiz(r)] = raiz(3Rr)
raiz(x) = raiz(3Rr)/2.[raiz(R) + raiz(r)]
x = 3Rr/4.[R + 2.raiz(Rr) + r]

> Duas circunferencias de raios R e são tangentes
> externamente em A. Traça-se a tangente externa BC (
> B e C pontos de contato). Calcular o raio da
> circunferencia inscrita no triangulo mixtilíneo
> ABC.( o que é um triangulo mixtilineo ABC?)
> R: Rr/(R+r+2(Rr)^1/2)

O triângulo mistilímeo não tem os lados retos. Olhe
para a figura 2circtrimistilineo.gif que enviei. A
circunferência de centro O tem raio R, a
circunferência de centro o (minúsculo) tem raio r e a
circunferência inscrita no triângulo mistilíneo ABC
tem centro X e raio x.

Basicamente usaremos o fato de que os segmentos MN e
Do são congruentes. Podemos calcular o tamanho de Do
através do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ORo:
OR² + Do² = Oo²
(R - r)² + Do² = (R + r)²
Do = 2.raiz(Rr)

Agora podemos achar o comprimento dos segmentos MX e
XN pelo teorema de Pitágoras nos triângulos OMX e oNX
respectivamente:
- No OMX
OM² + MX² = OX²
(R - x)² + MX² = (R + x)²
MX = 2.raiz(Rx)

- No oNX
oN² + XN² = oX²
(r - x)² + XN² = (r + x)²
XN = 2.raiz(rx)

E agora como MX + XN = MN:
MN = Do
MX + XN = Do
2.raiz(Rx) + 2.raiz(rx) = 2.raiz(Rr)
raiz(Rx) + raiz(rx) = raiz(Rr)
raiz(x).[raiz(R) + raiz(r)] = raiz(Rr)
raiz(x) = raiz(Rr)/[raiz(R) + raiz(r)]
x = Rr/[R + 2.raiz(Rr) + r]

Abraços,

Rafael.

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