[obm-l] Re: [obm-l] Problema de algum ano do IME

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

Oi Leo, 
 Smepre que aparecerem expoentes que são potências de 2 consecutivas, um
argumento que podemos fazer é ver o que acontece qdo multiplicamos a expressão
por um valor que faz ela se reduzir a uma expressão menor. No caso desse
problema, seja
 T=[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]
Então, usando que (a-b)(a+b)=a^2^-b^2, temos que 
 [1-((1+i)/2))].T= 
 = [1-((1+i)/2))].[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
 =[1-((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
 = [1-((1+i)/2)^4].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
 = ... =
 = [1-((1+i)/2)^(2^n)].[1+((1+i)/2)^(2^n)]=
 = [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]
 Logo, 
  T= [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]/[1-((1+i)/2))]
 Ainda podemos simplificar a fórmula acima. Para n=1, temos
 ((1+i)/2)^(2^(n+1))=((1+i)/2)^(2^2)=[((1+i)/2)^2]^2=
 = (i/2)^2= -1/4. 
 Então T= (1- 1/4)/[1-((1+i)/2))]= 3(1+i)/4.
 Para n >=2, temos   
 ((1+i)/2)^(2^(n+1))=[((1+i)/2)^(2^2)]^(2^(n-1))=
 = (-1/4)^(2^(n-1))= 1/2^(2^n) e daí
 T= (1+ 1/2^(2^n))/((1-i)/2)= (1+ 1/2^(2^n)).(1+i).
 Abraços, 
 Yuri   
-- Mensagem original --

>Será que alguém poderia resolver o seguinte problema:
>Calcule: [1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]
>i = (-1)^(1/2).
>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


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