Re: [obm-l] Duvidas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jun 06, 2003 at 01:54:28AM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
>   Caro Duda,
>   Um texto basico qualquer sobre superficies de Riemann e' suficiente. No
> curso que eu fiz no IMPA (ha' algum tempo...) nos usamos o Farkas-Kra. Na
> verdade a solucao que eu conheco e' do Nicolau. Se nao me engano a ideia e'
> complexificar os circulos e considerar o conjunto dos pares de pontos (p,q)
> onde p pertence ao circulo "de fora" e q ao "de dentro" de modo que a reta
> pq e' tandente ao circulo "de dentro".

É isso mesmo, olhe para as curvas em CP2 (plano complexo projetivizado):
as cônicas viram esferas.

> Eu pus essas aspas pois ao
> complexificarmos os circulos (i.e., ao considerarmos conjuntos definidos
> pelas mesmas equacoes que as dos circulos, mas considerando as variaveis
> complexas), eles passam a se intersectar, e na verdade esses pontos de
> intersecao tem um papel especial: a pontos genericos p d circulo de fora
> correspondem dois pontos q no de dentro, mas se p e' um ponto de intersecao
> dos dois circulos entao so' corresponde a ele o ponto p. Esses pares (p,q)
> formam uma superficie de Riemann M, e f(p,q)=p e' uma funcao de grau 2 de M
> no circulo de fora (que, complexificado, e' uma esfera de Riemann). Como f
> tem dois pontos de ramificacao (os dois pontos de intersecao dos "circulos"),
> o teorema de Riemann-Hurwitz mostra que M tem que ser um toro.

Exato, exceto que você não precisa realmente de Riemann-Hurwitz,
isto é um caso bem particular.

> Agora
> consideramos a funcao g que leva (p,q) em (p',q'), onde p' e p sao os pontos
> de intersecao de pq com o circulo "de fora" e p'q e p'q' sao as duas
> tangentes ao circulo "de dentro" passando por p'. Isso da' um automorfismo
> (bijecao analitica com inversa analitica) de M. Como todo automorfismo de M,
> que e' um toro, se levanta a uma translacao de C, e como g tem um ponto
> periodicos de periodo n, entao g^n e' a identidade de M, e acabou. Nao e'
> isso, Nicolau ?
>    Abracos,
>             Gugu

Exatamente.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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