RE: [obm-l] "derivada total"

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

"Diego Navarro" <diego@navarro.mus.br> wrote:
> Numa demonstração bizarra que ninguém entendeu, a nossa professora de
microeconomia usou
> uma tal de "derivada total" que nunca tinha visto na vida. Segundo 
> ela,
> 
> df = (df/dx)*dx +(df/dy)*dy
Oi Diego, O termo derivada total eh uma extensao ao R^n do conceito de
derivada na reta real. A derivada total, quando existe, eh uma funcao
que aproxima linearmente a funcao primitiva na vizinhanca de um ponto.
No caso, supondo-se que a f seja diferenciavel, a sua derivada total eh
uma funcao linear que, a cada elemento(dx, dy) do R^2, associa o numero
real (df/dx)*dx
+(df/dy)*dy (aqui os d significam derivadas parciais). Eh uma extensao 
+para
R^2 do classico f'(x)dx do caso unidimensional. Podemos verificar
facilemente que o valor associado ao elamento (dx, dy) eh o produto
escalar do gradiente de f por (dx, dy). Para maiores detalhes, recomende
que vc consulte a parte de funcoes de diversas variaveis em um bom livro
de Analise. 
> 
> No caso, queríamos a razão entre as duas derivadas parciais onde a
função fosse constante,
> logo
> 
> df=0 ==> (df/dx)*dx = - (df/dy)*dy
> (-df/dx)/(df/df/dy)= dy/dx
Isso eh na realidade aplicacao da regra da cadeia. Eh que em aulas que
nao sao de matematica, como Fisica e Economia, os professores geralmente
nao se preocupam muito com a precsao matematica, mas sim com as
aplicacoes. Eh tambem importante ter certeza que a f em questao eh mesmo
diferenciavel.
> 
> O que causou pânico nos mais sensíveis e uma fúria revolucionária nos
mais impacientes.
> 
> O mathreference.com sugere que "total derivative" é o vetor gradiente.

> O
que raios está
> acontecendo aqui? Essa interpretação do diferencial é um fato geral?
Na realidade, o gradiente eh o vetor cujas componentes (as derivadas
parciais em um ponto) sao os coeficientes da funcao linear que aproxima
a f em uma vizinhanca do ponto em questao. Suponhamos, por exemplo que
f(x, y) = xy^2 + x^3y. Derivando parcialmente com relacao a x obtemos
f_x(x,y) = y^2 + 3x^2y e com relacao a y vem f_y(x,y) = 2xy + + x^3.
Logo, no ponto (x,y) o gradiente eh o vetor (y^2 + 3x^2y , 2xy + + x^3).
A derivada total de f no ponto (x,y) eh a funcao linear que a cada (a,b)
de R^2 associa o numero real (2xy + + x^3)a + (2xy + + x^3)b. Este
numero eh a derivada em (x,y) aplicada ao elemento (a,b). parece
complicado, mas nao eh tanto assim. 
Um abraco
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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