Re: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Claudio,
   Bom problema. De fato, sup(A)=e. Voce(s) quer(em) pensar mais ou quer(em)
ver uma solucao ?
   Abracos,
            Gugu
 
>
>Oi, Gugu e Luis:
>
>Baseado na ultima mensagem (do Gugu) temos um novo 
>problema derivado desse:
>
>Qual a maior base de logaritmos para a qual a serie converge 
>ou, mais precisamente, seja:
>A = {b em R tais que para logs na base b a serie converge}
>Quem eh sup(A) ?
>
>Pelo que o Gugu disse, 2 <= sup(A) <= e.
> 
>Um abraco,
>Claudio.
>---------- Cabeçalho inicial  -----------
>
>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Cópia: 
>Data: Fri, 30 May 2003 04:04:13 -0300 (EST)
>Assunto: Re: [obm-l] Problema 5 da OBMU
>
>>    Caro Luis,
>>    Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele 
>esta' pensando
>> que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem 
>classico. Nesse
>> problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou 
>de x, na integral). 
>> Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre e e e^e e 
>assim por
>> diante. E' um fato interessante (que a meu ver mostra o quao 
>delicada e'a
>> questao da convergencia dessa serie) que, se trocarlos log 
>(logaritmo natural) 
>> por lg (logaritmo na base 2), a serie, em vez de divergir, 
>converge.
>>    Abracos,
>>             Gugu
>> 
>> >
>> >Sauda,c~oes,
>> >
>> >Apaguei a msg original do Gugu. O que sobrou foi:
>> >
>> >Caros colegas,
>> >Para uma serie cuja discussao sobre convergencia e'
>> >mais delicada, vejam o problema 5 da ultima OBM
>> >universitaria.
>> >Trata-se da serie
>> >Soma(n>=1)(1/(n.log(n).log log (n). ... . log log ... log(n))),
>> >onde os logaritmos sao naturais, e o numero de termos
>> >no produto depende de n:
>> >paramos no ultimo log log ... log(n) que e' maior ou igual a
>> >1.
>> >
>> >Antes de ver a solução proposta na Eureka, propus o
>> >problema pro prof. Rousseau. Sua resposta demorou um
>> >pouco por razões que não vêm ao caso mas chegou.
>> >
>> >Recentemente falou-se do teste da integral numa outra
>> >série ..... pelo Salvador???
>> >Mais um uso do mesmo teste.
>> >
>> >[]'s
>> >Luis
>> >
>> >===
>> >The series with nth term
>> >1/(n log n log log n \cdots log
> Let log_k x = log \cdots \log x with
>> >k iterates.  To see that \int_a^R dx/(x log_k x )
>> >tends to infinity with R, argue by induction and set x = e^u.
>> >Then the integral in question becomes
>> >\int_{log a}^{log R} du/(u \log_{k-1} u)
>> >which tends to infinity with R by induction.
>> >
>> >Alternatively, one can avoid integrals by using
>> >the Cauchy condensation test.
>> >
>> >Cecil
>> >===
>> >
>> >
>> 
>>=================================================
>========================
>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> 
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>> 
>> 
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> 
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>> 
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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