Re: [obm-l] problema de Topologia

[Carlos C�sar de Ara�jo <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> Acho este problema bonito
> Sejam X un espaco topolologico, Y um espaco topologico de Haursdorff e f
> e g funcoes continuas de X em Y. Mostre que E = {x em X | f(x) = g(x)}
> eh um subconjunto fechado de X.

Vejamos se o complementar X-E �, de fato, aberto. Para isto, dado v em X-E,
devemos obter um X-aberto V tal que

(*) v est� em V e V contido em X-E.

Ora, como v est� em X-E, temos f(v)<>g(v). Como Y � de Hausdorff, os pontos
distintos f(v) e g(v) podem ser SEPARADOS por certos Y-abertos A e B; isto
�, temos

(*) f(v) em A, g(v) em B, A disjunto de B,

ou ainda (em termos de imagens inversas)

(*) v em f^(-1)(A), v em g^(-1)(B), A disjunto de B.

Como f e g s�o CONT�NUAS, segue-se que a interse��o

V = f^(-1)(A) inter g^(-1)(B)

� um X-aberto contendo v. Resta verificar que V est� contido em X-E. Ora,
como A � disjunto de B, temos

x em V ==> f(x) em A e g(x) em B ==> f(x) n�o est� em B ==> f(x)<>g(x) ==> x
n�o est� em E.

Era o que cumpria provar.

OBSERVA��O. Com as hip�teses acima, somos naturalmente levados a este
resultado quando tentamos provar que toda fun��o cont�nua f: A->Y admite NO
M�XIMO uma extens�o cont�nua ao fecho cl(A). (Alternativamente: se duas
fun��es cont�nuas de X em Y coincidem num subconjunto denso de X, ent�o elas
coincidem em toda parte.)

Carlos C�sar de Ara�jo
Matem�tica para Gregos & Troianos
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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