----- Original Message -----
Sent: Thursday, May 29, 2003 12:58
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas
ao redor do mundo....
E aí rapaziada!! Tudo bem??
Alguém ai tem disposição
para pensar nesse???
Mostre que para todo inteiro a>1,
existe um número primo p tal que 1+a+a^2+...+a^(n-1) é
composto.
Valeu.....
Crom
*****
Oi, Crom:
Imagino que você queira dizer 1 + a + ... +
a^(p-1) é composto.
Se esse for o caso, teremos:
a = 2 ==> 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^10 = 2^11 -1
= 23*89 ==> composto.
Agora, seja a um inteiro qualquer >=
3.
Seja p o menor primo que divide a - 1 (como a -
1 >= 2, a existência de um tal primo estará assegurada - foi por
isso que eu separei o caso a = 2).
Então, p também irá dividir a^2 - 1, a^3 - 1,
..., a^(p-1) - 1.
Só que:
(a - 1) + (a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) =
(1 - 1) + (a - 1) +
(a^2 - 1) + ... + (a^(p-1) - 1) =
(1 + a + a^2 + ... + a^(p-1)) - p, ou
seja:
1 + a + .... + a^(p-1) = p + (a - 1) + (a^2 -
1) + ... + (a^(p-1) - 1)
Como p divide cada parcela do lado direito (e,
portanto, sua soma), concluímos que p também dividirá o lado
esquerdo.
Como p divide a - 1, teremos que p <= a
- 1 < 1 + a <= 1 + a + ... + a^(p-1).
Logo, 1 + a + ... + a^(p-1) tem pelo
menos um outro fator primo além de p ==>
1 + a + ... + a^(p-1) é
composto.
Um abraço,
Claudio.