Re: [obm-l] Re: soma dos quadrados

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, May 25, 2003 at 06:31:17PM -0300, Eduardo Botelho wrote:
> 
> Essa quest�o apareceu h� umas duas semanas. Estive olhando as mensagens 
> agora com um pouco mais de calma e fiquei curioso.
> 
> Nicolau C. Saldanha wrote:
> 
> >Seja f(n) = 12 + 22 + ... + n2, n > 0

Aqui havia uns ^ para indicar 'elevado a' que foram comidos por algum programa;
o correto seria

f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2, n > 0

> >Como discutido em mensagem anterior (que falava da soma dos cubos),
> >esta fun��o deve ser definida para inteiros negativos assim:
> >
> >f(n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (n+1)^2 = - f(-n-1)
> >
> >Esta � a �nica forma de termos f(0) = 0 e f(n) = f(n-1) + n^2 para todo n.
> >
>  por que f(0) = 0? Isso est� sendo definido agora para satisfazer a 
>  identidade?

Sim. Para satisfazer a identidade f(n) = f(n-1) + n^2 e f(1) = 1.
Tome n = 1: f(1) = f(0) + 1.

> Se a resposta for sim, poder�amos definir f nos inteiros negativos como 
> f(n) = -(-1)^2 - ... -(n)^2   e definir f(0) = 0. Assim tamb�m ter�amos 
> f(0) = 0 e f(n) = f(n-1) + n^2 para todo n.

N�o. Fazendo n = 0 na identidade temos f(0) = f(-1) + 0^2 donde f(0) = f(-1).

> Claro que n�o chegar�amos a n(n+1)(2n+1)/6, pois -1 nem � raiz de f. O 
> que quero saber � de onde veio a id�ia de definir f desse jeito.

� a �nica forma de satisfazer f(n) = f(n-1) + n^2 e f(1) = 1.

> Ah.. e n�o achei a "mensagem anterior" da qual o Nicolau fala. Pelo 
> menos n�o t�o recente.

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00623.html
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00632.html
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00733.html

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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