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Essa questao ja foi discutida na lista antes. Acho
inclusive que fui eu quem colocou a duvida na epoca..
Para o lado direito:
Pela desigualdade triangular, a
< (b+c). Isso apenas nao basta, mas se vc somar b+c, a+b+c < 2(b+c), donde
b+c > p (semiperimetro).
Logo, a/(b+c) < a/p, e somando as desigualdades
correspondentes aos outros termos, vc ve que da < a/p+b/p+c/p =
2.
Uma solucao alternativa é você
multiplicar todo mundo pelo denominador comum e passar para o mesmo lado..
desenvolvendo, vc logo conclui a desigualdade (usando que a-b-c > 0, ou mais
precisamente, que a^2 (a-b-c) > 0).
Para o lado esquerdo:
Esse lado vale mesmo
supondo apenas q a,b,c sejam positivos:
Se vc nao quer multiplicar tudo e analisar (esse eu
nao fiz, mas acredito que tmb saia, assim como o outro lado), considere a funcao
f(x) = x/(p-x) = p/(p-x) - 1. f''(x) > 0,
logo ela tem concavidade para cima. Portanto, dados 3 pontos a,b,c com a+b+c=p
tem-se:
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 >= f [ (a+b+c)/3
]
Logo, a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c) >= 3 * [
(1/3)(a+b+c) / (p - (a+b+c)/3)] = 3* [ (p/3) / (p-p/3) ], ou seja,
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
>= 3/2
Isso pode soar pouco natural a
principio, mas eh apenas uma aplicacao de uma conhecida desigualdade para fcs
convexas (Jensen), que eh inclusive bastante intuitiva. A idéia de fazer a+b+c =
p tmb ajuda em diversos problemas no qual a desigualdade eh homogenea (i.e,
multiplicar todas as variaveis por um real r > 0 nao muda a cara do
problema).
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