|
Respondendo a uma mensagem um pouco antiga do
Amurpe..
Quanto a livros sobre o
assunto, esse que voce menciona, junto com o livro vermelho que acho que sao dos
mesmos autores (e tmb eh vendido no impa) foram
os livros que eu usei para estudar isso, e
considero-os muito bons. Nao me vem a cabeca agora o nome de
outros..
Quanto aos problemas propriamente
dito:
1) Uma ideia boa em problemas desse tipo eh comecar entendendo
os primeiros casos. Seja x_n o nr. de sementes produzidas no ano n:
Ano0: temos somente a semente plantada, logo x_0 =
1
Ano1: Passado um ano, a semente plantada x_0 deu origem a 21
novas sementes, logo x_1 = 21
Ano2: A semente x_0 originou 44 novas sementes nesse ano,
enquanto que as 21 sementes x_1 originaram 21, de modo que:
x_2 =
44*x_0 + 21*x_1 = 44 + 21^2 = 485
Ano3: As sementes de x_0 e x_1 ja estao velhas o suficiente
para produzir 44, enqto que as de x_2 produzem apenas 21, de modo
que:
x_3 =
44*x_0 + 44*x_1 + 21*x_2
Ano4: x_4 = 44*x_0 + 44*x_1 + 44*x_2 +
21*x_3
Em geral:
Ano n: A semente do ano x_n-1 originou 21, enqto que as dos
anos anteriores originaram 44, de modo que:
x_n =
44*(x_0 + x_1 + ... + x_n-2) + 21*x_n-1 (*) para n >= 1,
considerando x_t = 0 para t < 0.
Note que essa recorrencia nao eh exatamente do tipo que a
gente estuda como principais (a ordem dela parece nao ser
constante)..
Entretando, alguns truques classicos fazem com que ela recaia
numa equacao comum.. Por exemplo, observando a semelhanca entre x_3 e x_4, eh
interessante subtrair uma equacao da outra, de modo a cancelar alguns termos..
Vamos fazer isso para n. Trocando n por n+1 em (*):
x_n+1 =
44*(x_0+x_1+...+x_n-2 + x_n-1) + 21*x_n (**)
Subtraindo (**)-(*):
x(n+1) - x(n) = 44x(n-1)
+ 21x(n) - 21x(n-1), ou seja, para n>= 1:
x(n+1) -22x(n) -
23x(n-1) = 0
Associada a eq:
t^2 - 22t - 23 = 0, que
tem como solucoes t = -1 e t = 23.
Logo, x(n) = A*(-1)^n + B*(23)^n
x(1) = 21
=> -A+23B=21
x(2) = 21 => A + 529B
= 485
Logo, B = 506/552 = 11/12, A = 1/12
Portanto, sao produzidas x(n) = [(-1)^n + 11*(23)^n] / 12 sementes no ano n. Em breve respondo as outras duas!
Abracos,
Marcio
> gostaria que voces me mostrassem como , faço para > resolver os problemas , já que minha dificuldade é muit o > grande .Eles são do livro matemática do ensino médio > volume :2 - da coleção do Impa , achei o terceiro mais > dificil por falar em probabilidade.Se puderem me indicar > livros sobre o assunto ficarei grato. Muito obrigado > pela força. > > abraços.Amurpe > > 1) Uma planta é tal que cada uma de suas sementes > produz um ano apos ter sido plantada , 21 novas semente s > e apartir daí , 44 novas sementes a cada ano .Se > plantarmos hoje uma semente e se , toda vez que uma > semente for produzida ela for imediatamente plantada , > qtas sementes serão produzidas daqui a n anos? > > > 2) o salario de carmelino no mes n é sn=a +bn.Sua renda > mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas > aplicações financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua > renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa > i.determine a renda de carmelino no mes i. > > > 3) 5 times de igual força disputarão todo o ano um > torneio.Uma taça será ganha pelo time que vencer 3 veze s > consecutivas.Qual a probabilidade da taça ser ganha nos > n primeiros torneios? |