Re: [obm-l] ex-inscritas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Rafael:

A demonstração é razoavelmente simples e envolve apenas soma e/ou diferença
de áreas de triângulos.
A parte mais chata é descrever com palavras a figura geométrica.
Mas, vamos lá de qualquer jeito:

Seja o triangulo ABC, com AB = c, AC = b, BC = a ==>
p = semi-perímetro = (a+b+c)/2.

Seja O o centro do ex-círculo de raio "r" compreendido pelo angulo ABC.
Sejam M, N e P os pontos de tangencia deste ex-círculo com os lados BA, AC e
BC, respectivamente.

Inicialmente, teremos:
OM = ON = OP = r
AN = x   e   NC = b - x  ==> AM = x   e   CP = b - x.

[ABC] = [OMBP] - [OMACP]

[OMBP] = [OMB] + [OPB] =
OM*BM/2 + OP*BP/2 =
OM*(BA+AM)/2 + OP*(BC+CP)/2
= r*(c+x)/2 + r*(a+b-x)/2 =
= r*(a+b+c)/2 =
= r*p

[OMACP] = [OMA] + [ONA] + [ONC] + [OPC] =
= OM*MA/2 + ON*NA/2 + ON*NC/2 + OP*PC/2 =
= r*x/2 + r*x/2 + r*(b-x)/2 + r*(b-x)/2 =
= r*b

Logo, [ABC] = r*p - r*b = r*(p - b)


Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, May 19, 2003 4:13 PM
Subject: Re: [obm-l] ex-inscritas


> De onde vem essa fórmula:
> S = (p - b).r(b)
>
> Tem algum nome? A demonstração é simples?
>
> Rafael.
>
>  --- "A. C. Morgado" <morgado@centroin.com.br>
> escreveu: > Bem, os raios das exinscritas sao
> calculados por
> > S=(p-b)r(b) = (p-c)r(c)
> > sendo b e c os catetos e r(b) o raio da exinscrita
> > que tangencia o
> > cateto b...
> > r(b)*r(c) = S^2 /(p-b)(p-c) = 4S^2/ (2p-2b)(2p-2c) =
> > 4S^2/(a+c-b)(a+b-c)
> > = 4S^2/ [a^2 - (b-c)^2] =
> > = 4S^2/2bc = 4S^2/4S = S
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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