Re: [Re: RE: [obm-l] (a+1).(b+1).(c+1)]

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Esta eh uma conclusao da programacao matematica, baseada nos multiplicadores de Lagrange e nas condicoes de Khun Tucker, valida quando hah simetria e o ponto extremo estah no interior do conjunto viavel.  Por exemplo, o problema
Min a^2 + b^2 + c^2 sujeito a 
a+b+c =K 
tem solucao otima (no caso, um problema de mimizacao) quando a=b=c= K/3
Artur

Acho que apenas a 
> simetria do problema nao permite concluir que o maximo ocorre quando a=b=c. 
> Ele poderia, por exemplo, ocorrer nos pontos (1/3,1/3,9), (1/3,9,1/3) e 
> (9,1/3,1/3), que tmb seria uma situacao simetrica. Uma possivel solucao eh 
> desenvolver a igualdade dada para obter: 
>

8 = 1+ (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc

>

Fazendo u = (abc)^1/3 e usando MA>MG:

>

8 >= 1+3u + 3u^2 + u^3 => 8 >= (1+u)^3

>

Logo, (1+u) <= 2 donde u<=1 e portanto abc <= 1(a > igualdade ocorre qdo a=b=c=1 p. ex).

>

 

>

 

>

Em 18 May 2003, obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:

>

>Se a, b, c são reais não negativos tais que: 
>

>(1 + a)(1 + b)(1 + c)= 8 
>

> 
>

>Então, sobre o produto abc podemos afirmar que: 
>

>a) não excede de um 
>

>b) é igual a 1 
>

>c) está entre 1 e 2 
>

>d) é igual a 2 
>

> 
>

>Outra forma de resolver eh considerar o problema de 
> programacao nao linear 
>

>Maximizar abc, sujeito a 
>

>(1+a)(1+b)(1+c) = 8 
>

>a,b,c>=0 
>

> 
>

>O problema tem solucao otima, pois estamos maximizando uma 
> funcao continua 
>

>em um conjunto compacto ({a,b,c em R | que a,b,c>=0 e 
> (1+a)(1+b)(1+c) = 
>

>8} 
>

>eh fechado e limitado, logo compacto). Em virtude das 
> simetrias da funcao 
>

>objetivo e da restricao, no ponto de otimo temos que a=b=c, o 
> que nos conduz 
>

>a que a=b=c=1 e que 1.1.1 =1 seja o maior valor possivel para 
> o produto abc. 
>

>Claramente, este eh mesmo o ponto de maximo, pois se fizermos 
> a=7 e b=c =0, 
>

>atendemos aas restricoes obtemos abc = 0<1. 
>

>Artur 
>

> 
>

> 
>

> 
>

>---------- 
> 
> ___________________________________________________________________
> Super iG - Internet em Alta Velocidade - http://www.superig.com.br/
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 




İİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİInstruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
İİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİİ