Re: [obm-l] 2 Problemas

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

>
>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de
>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que
>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles
>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo?
>

Bem, para n = 2 dá para fazer mais diretamente:

Seja p(x) = ax^2 + bx + c, onde |p(x)| <= 1 para |x|<= 1.

x = 0   =>   - 1 <= c <= 1                       (1)
x = 1/2   =>   - 4 <= a + 2b + 4c <= 4     (2)
x = 1   =>   - 1 <= a + b + c <= 1            (3)

2(3) - (2)   =>   - 6 <= a - 2c <= 6           (4)
(2) - (3)   =>   - 5 <= b + 3c <= 5            (5)

Como |c| <= 1   =>   |a| <= 8  e  |b| <= 8
Portanto:  |a| + |b| + |c| <= 17.

Para n = 3 (que é o que você está querendo), tem so site do John Scholes 
(http://www.kalva.demon.co.uk/short/soln/sh965.html), pois caiu no banco do 
IMO de 96.

Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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