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Re: [obm-l] Teoremas de Menelaos,Ceva,Cristea e Van Aubel(O RETORNO):o que ha em comum?
Ah ta,uma pequena confusao de nomes.Isso acontece muito so que ao contrario:tem gente que confunde o Eduardo Wagner com o Eduardo Tengan!!!!
Bem,esta tua resposta foi muito boa.E bem mais geral que a que eu pensaria mas tudo bem.
Pense assim:o primeiro teorema que junta colinearidade e concorrencia e o da soma dos angulos do triangulo do plano euclidiano.Pra provar normalmente se passa uma paralela magica por um ponto do triangulo.
Pois entao,essa e uma arma mais poderosa do que muitos pensam.
Dou uma parte do ouro:para demonstrar Ceva, or exemplo,ralela por a ao lado BC.Prolongue todas as cevianas ate encontrar a dita reta,use um arrasta potente ate a figura ficar cheia e use semelhanças pra calcular as razoes.Ai fim!!!
Te mais!!!!!Ass.:Johann
Oi, JP:
Sou eu mesmo. Só que agora estou usando o meu e-mail do trabalho.
E acho que o que todos estes teoremas têm em comum são o fato de envolverem os dois conceitos fundamentais da geometria: concorrência e colinearidade.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, May 13, 2003 1:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Teoremas de Menelaos,Ceva,Cristea e Van Aubel(O RETORNO):o que ha em comum?
Na verdade eu queria falar com o outro Claudio,que resolveu Cristea com vetores.Mas beleza,ainda deixo na gaveta.Mas permanece a duvida:o que tudo isso tem em comum?
Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
on 12.05.03 13:51, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at peterdirichlet2002@yahoo.com.br wrote:
Turma,essa seria uma pergunta para o Morgado responder mas eu vou deixar a lista se divertir com este :)
TEOREMA DE VAN AUBEL:As cevianas AT_a,BT_b e CT_c sao concorrentes no ponto T se e somente se AT/TT_a=AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
Menelaos,Ceva e Cristea,ou Transversal,nao deixp pois ja falei demais disso.
Ah ta,pro Claudio:a dita demonstraçao elegante e facil de obter.Primeiro mostre que a soma dos angulos de um triangulo do plano euclidiano e 180 graus.Ai e so alegria!
Ass.:Johann
PS.:Teoremas desse tipo sao meio inuteis mesmo...E especifico demais.
*****
Oi, JP:
Em qualquer ceviana AP com P em BC, podemos achar um ponto M entre A e P tal que:
AM/MP = AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
Assim, este teorema vale apenas numa direcao:
SE as cevianas sao concorrentes ENTAO AT/TT_a=AT_b/T_bC+AT_c/T_cB.
Isso pode ser provado com vetores, mas acho que uma demonstracao usando areas de triangulos eh mais elegante:
Suponhamos que AT_a, BT_b e CT_c concorram em T.
Entao, tomando triangulos com a mesma altura (e, portanto, areas proporcionaias aos comprimentos das bases respectivas), teremos:
AT_c/T_cB = [ATT_c]/[BTT_c] = [ACT_c]/[BCT_c] ==>
AT_c/T_cB = ( [ACT_c] - [ATT_c] ) / ( [BCT_c] - [BTT_c] ) ==>
AT_c/T_cB = [ATC]/[BTC]
Analogamente, teremos:
AT_b/T_bC = [ATB]/[BTC]
Somando:
AT_c/T_cB + AT_b/T_cB = ( [ATC] + [ATB] )/[BTC]
Por outro lado, temos que:
AT/TT_a = [ABT]/[BTT_a] = [ACT]/[CTT_a] ==>
AT/TT_a = ( [ABT] + [ACT] ) / ( [BTT_a] + [CTT_a] ) ==>
AT/TT_a = ( [ATC] + [ATB] ) / [BTC] = AT_c/T_cB + AT_b/T_cB
*****
De qualquer forma, gostaria de ver a sua demonstracao alegre baseada na soma dos angulos de um triangulo no plano euclidiano.
Um abraco,
Claudio.
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