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Re: [obm-l] Probabilidades!
Querido Helder Suzuki,
Há grandes chances de meus escritos abaixo se tratarem de enorme
besteira. Mas, vamos lá, estamos aqui para "sofrermos" correções mesmo, o
que é sempre positivo, então:
Questão 1 (essa eu achei em um problema de olimpíada de informática):
Em um show de auditório, o participante pode escolher uma porta
fechada entre as (m+n) portas fechadas, onde 1<=m portas contém um cara
vestido de monstro e 1<=n portas contém um carro. O participante escolhe
uma porta, e pra dar mais audiência o apresentador abre 0<=k<m portas que
têm monstros, libertando-os. Então o apresentador dá a chance pro
participante de escolher outra porta ou continuar com a que ele estava. O
participante imediatamente escolhe outra porta e ganha o que tem atrás
dela. Qual a probabilidade do participante ganhar um carro?
***Comentários iniciais***
Esta questão está relacionada com problema lançado em uma das
Eurekas inicias, não recordo qual. O artigo é do professor Nicolau.
Por vários meses atrás, pensei bastante em problema semelhante a
esse, no qual havia um só carro e monstros nas demais (n-1) portas. De
qualquer forma é parecido. Logo vou escrever o que penso como solução do
seu problema, mais genérico que o meu, o que não implica que eu esteja
certo. Assim mesmo, vejamos:
Tentativa de Resolução do meu Problema
Na primeira escolha, há 1/n chances de ganhar o carro e,
automaticamente, (n-1)/n de não ganhar.
Abertas (n-2) portas com os monstros, a probabilidade de ganhar,
não mudando de porta, permanece a mesma 1/n, e, portanto, a de ganhar
mudando de porta também, (n-1)/n.
Porém, (n-1)/n está agora referenciada a uma única porta, que não a
escolhida, logo é sempre bom mudar de porta. As chances são bem maiores.
Gosto de pensar neste problema como um saco de laranjas, no qual há
uma boa e as demais (n-1) estão podres. Escolhida a primeira laranja, há
1/n chances de a boa estar no subconjunto selecionado e,
concomitantemente, (n-1)/n de estar no não selecionado. Ao se retirar do
saco (n-2) laranjas podres, as probabilidades não se alteram, isto é, 1/n
mantendo a primeira escolha e (n-1)/n de ser a outra.
Uma observação legal: a questão é que mudar para a outra laranja na
segunda opção é o mesmo que escolher todo o conjunto anteriormente não
selecionado, com a boa e as poderes juntas. Logo a chance de a boa estar
dentre elas é ainda (n-1)/n Compreende isso? Não há simetria.
Tentativa de Resolução do seu Problema
Na primeira escolha, há n/(n+m) chances de ganhar o carro e,
automaticamente, m/(n+m) de não ganhar.
Abertas as k portas, somente das m que contém monstros, a
probabilidade de ganhar, não mudando de porta, permanece a mesma, e,
portanto, a de ganhar mudando de porta também, já que esta é (1? n/(n+m))
= m/(n+m).
Uma coisa legal é que se m > n então é sempre bom mudar de porta.
Correta esta afirmação?
Também espero parecer de outros alunos interessados e professores.
Um forte abraço, João Carlos.
Helder Suzuki
<heldersuzuki@yahoo.co Para: obm-l@mat.puc-rio.br
m.br> cc:
Enviado Por: Assunto: [obm-l] Probabilidades!
owner-obm-l@sucuri.mat
.puc-rio.br
05/05/2003 23:10
Favor responder a
obm-l
Olá pessoal!
Nos últimos dias me deparei com duas questões de
probabilidade, e gostaria de saber se minhas soluções
estão corretas.
------
Questão 1 (essa eu achei em um problema de olimpíada
de informática):
Em um show de auditório, o participante pode escolher
uma porta fechada entre as (m+n) portas fechadas, onde
1<=m portas contém um cara vestido de monstro e 1<=n
portas contém um carro.
O participante escolhe uma porta, e pra dar mais
audiência o apresentador abre 0<=k<m portas que têm
monstros, libertando-os.
Então o apresentador dá a chance pro participante de
escolher outra porta ou continuar com a que ele
estava. O participante imediatamente escolhe outra
porta e ganha o que tem atrás dela.
Qual a probabilidade do participante ganhar um carro?
*** Solução ***
Eu pensei assim, existem dois casos possíveis para o
participante ganhar o carro:
(i)
Primeiro ele escolhe um monstro, depois escolhe um
carro.
Ele escolhe uma porta com monstro, a chance é m /(m+n)
O apresentador abre as k portas e
o cara escolhe uma porta com carro, a chance é n /
(m+n-k-1)
A chance disso tudo acontecer é mn / [(m+n)(m+n-k-1)]
(ii)
Primeiro ele escolhe um carro, depois escolhe outro
carro(se tiver mais que um carro)
Ele escolhe uma porta com carro: n / (m+n)
O apresentador abre as k portas.
Ele escolhe outra porta com carro (n-1) / (m+n-k-1)
A chance disso tudo acontecer é n(n-1) /
[(m+n)(m+n-k-1)]
Somando os dois casos possíveis, o participante
tem p = n(m+n-1)/[(m+n)(m+n-k-1)] chance de ganhar um
carro.
-------
Questão 2 (essa um colega da aula de olimpíada me
passou):
(não era bem assim o enunciado, mas no fundo é a mesma
coisa)
Se temos um saquinho com infinitas moedas iguais, cada
uma com p chance de cair cara e, claro, 1-p chance de
cair coroa. O chão também é infinito.
Um jogo consiste em pegar uma moeda e jogá-la para o
ar e deixá-la cair no chão (uma moeda nunca cai em
cima de outra moeda).
O jogo acaba quando, no chão, o número de resultados
cara é igual o número de resultados coroa.
Qual a probabilidade do jogo acabar?
*** Solução ***
Qualquer que seja a quantidade de moedas que jogamos,
o jogo só pode acabar quando há um número par de
moedas no chão.
Ou seja, cada vez que o número de moedas no chão é
par, o jogo corre o risco de acabar.
Se jogamos 2 moedas, a chance do jogo acabar é
p*(1-p), pois precisamos de 1 cara e 1 coroa.
Se jogamos 4 moedas, a chance do jogo acabar é
p*p*(1-p)*(1-p), primeiro cai 2 caras e depois 2
coroas, ou vice-versa(senão o jogo acaba com 2 moedas,
cuja chance já foi calculada). a chance é [p(1-p)]^2
...
...
na (2n)-ésima moeda que jogamos, a chance do jogo
acabar é [p(1-p)]^n (note que por causa da propriedade
comutativa da multiplicação, a ordem das moedas não
importa)
a probabilidade do jogo acabar quando jogamos 2n
moedas é:
P = p(1-p) + [p(1-p)]^2 + [p(1-p)]^3 + ... +
[p(1-p)]^n
o que é a soma de uma pg de razão p(1-p), mas como n é
infinito:
P = p(1-p)/[1 - p(1-p)] =>
P = p(1-p)/(p^2 - p + 1)
------
Grato pela atenção, abraços,
Helder Toshiro Suzuki
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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