Re: [obm-l] triangulo e bissetrizes

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 23.04.03 19:38, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:

> Valeu Fabio pelo problema das circunferências. Agora
> tem esse aqui também:
> 
> ABC é um triângulo cujas medidas dos lados são a,b,c
> e  M ,N,P são os pés das três bissetrizes internas
> desse triângulo. Achar a razão entre as áreas dos
> triângulos MNP e ABC
> resposta: 2abc/(a+b)(a+c)(b+c)
> 
> Alguém me ajuda?
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
Oi, Rafael:

Aqui acho que vale a pena usar o fato de que a bissetriz interna de um
angulo divide o lado oposto a esse angulo em partes proporcionais aos outros
dois lados.

Assim, sejam as bissetrizes AM, BN e CP, com M em BC, N em AC e P em AB.

Teremos:
BC = a ==> BM = a*c/(b+c)  e  MC = a*b/(b+c)
AC = b ==> AN = b*c/(a+c)  e  NC = b*a/(a+c)
AB = c ==> AP = c*b/(a+b)  e  PB = c*a/(a+b)

Alem disso, decompondo o triangulo ABC, teremos:
[MNP] + [ANP] + [BMP] + [CMN] = [ABC] ==>
[MNP]/[ABC] = 1 - [ANP]/[ABC] - [BMP]/[ABC] - [CMN]/[ABC]

Mas:
[ABC] = (1/2)*AB*AC*sen(A) = (1/2)*b*c*sen(A)
e
[ANP] = (1/2)*AN*AP*sen(A) = (1/2)*b^2*c^2*sen(A)/((a+c)(a+b))

Ou seja:
[ANP]/[ABC] = bc/((a+c)(a+b)) = bc(b+c)/((a+b)(a+c)(b+c))

Analogamente, encontramos:
[BMP]/[ABC] = ac(a+c)/((a+b)(a+c)(b+c))
e
[CMN]/[ABC] = ab(a+b)/(((a+b)(a+c)(b+c))

Assim, temos que:
[MNP]/[ABC] = 1 - (bc(b+c) + ac(a+c) + ab(a+b))/((a+b)(a+c)(b+c))

E, apos alguma algebra, chegamos finalmente a:
[MNP]/[ABC] = 2abc/((a+b)(a+c)(b+c))

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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