[obm-l] Integral imprópria

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Olah a todos!
Há alguns dias alguem levantou na lista a questao de que se a existência da
integral imprópria (Riemann) de f sobre o intervalo [a, inf), a em R,
acarreta que lim (x --> inf) f(x) =0. Nao sei se a questao ficou esclarecida
mas, de qualquer forma, a resposta e nao. Uma vez achei que o limite tinha
mesmo que ser zero, tentei demonstrar e, eh claro, nao consegui, pois isto eh
falso. Me deram o seguinte contra-exemplo, relativamente simples (ha muitos):
para cada natural n, definamos f por f(x) =1 se x estah em (n, n +1/n^2) e
f(x) =0 caso contrario. Eh facil ver que a integral de f sobre [0, inf) eh a
serie 1 + 1/2^2 + 1/3^2....., a qual sabemos ser convergente. Logo, a integral
converge para o limite da serie. Entretanto, f não apresenta limite no
infinito. (Para vermos isto, observemos que as sequencias (n) e (n + 1/(2n^2))
sao ambas propriamente divergentes. Entretanto, a imagem da primeira sob f
converge para 0 e a da segunda converge para 1).

Se, por outro lado, lim (x --> inf) f(x) existir, entao ele eh necessariamente
nulo. De outra forma, a integral impropria iria para + ou - infinito,
contrariando a hipotese de sua convergencia. Vemos assi que analogia com o
caso de series infinitas nao eh total.

Ha ateh exemplos nos quais a f nao e tao "patologica", sendo ateh mesmo
continua. Exemplos como a f que dei sao muito interssante sob o ponto de vista
matematico, mas cabe mencionar que, em termos praticos, nao servem para nada,
pois nenhum fenomeno fisico, economico, social ou seja la o que for e
representado por funcoes como esta.

Um abraco
Artur  

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================