Re: [obm-l] Desigualdade legal

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Marcio, 
   Bacana, mas a maior parte da sua solucao trata do caso abc<1, e nao
precisa: se abc<1, multiplicamos a,b e c por 1/raiz_cubica(abc). Ai o lado
esquerdo nao muda, o direito aumenta e passamos a ter ABC=1.
   Abracos,
           Gugu

>
>    É...
>    Minha solução foi a seguinte:
>    Voce comeca mostrando o caso em que abc = 1. Esse caso é típico. Uma
>solucao é fazer a=u/v, b=v/w, c=w/u e depois usar a desigualdade do
>rearranjo.
>Fica u^2/wv + v^2/uw + w^2/uv >= u/v + v/w + w/u sse u^3 + v^3 + w^3 >= u^2w
>+ v^2u + w^2v (rearranjo com [u^2 v^2 w^2] e [u v w].
>    Agora, suponha abc < 1. Se todos os três forem menores que 1, a
>desigualdade segue direto de a/c >= a, ...
>    Suponha então que c > 1 (os outros dois casos são tratados da mesma
>forma). Considere f(x) = x/c + b/x + c/b - x - b - c.
>    Como 1/c - 1 < 0, essa função é decrescente, e portanto para 0<x<1/bc
>temos temos f(x) > f(1/bc).
>    Por outro lado, fazendo a = 1/bc sabemos que f(a) > 0 da primeira parte,
>e consequentemente f(x) > 0 sempre.
>    t+
>
>----- Original Message -----
>From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Wednesday, April 16, 2003 5:51 PM
>Subject: Re: [obm-l] Desigualdade legal
>
>
>> > Segue pro pessoal tentar uma desigualdade legal que apareceu em outra
>> lista:
>> >     Se a,b,c sao reais positivos e abc <=1, mostre que:
>> >     a/c + b/a + c/b >= a + b + c
>>
>>
>> talvez saia dessa maneira:
>> sejam x e y reais positivos tais que
>> b = ax
>> c = ay
>> temos então
>>
>> a/ay + ax/a + ay/ax >= a(1 + x + y)9
>> 1/y + x + y/x >= a(1 + x + y)
>>
>> no entanto abc = a³xy <= 1 => a <= (xy)^(-1/3)
>> sendo assim, se provarmos que
>> 1/y + x + y/x >= (xy)^(-1/3)(1 + x + y)
>> teremos provado a desigualdade original.
>> acho que se fizermos
>> f(x, y) = 1/y + x + y/x - (xy)^(-1/3)(1 + x + y)
>> talvez se usarmos os métodos de cálculo para determinar qual o valor
>mínimo
>> de f e verificarmos que esse valor é >= 0 a resposta saia.
>
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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