[obm-l] RE: [obm-l] demonstração

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

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>Demonstre que a solução de f'(x)=f(x) são as funções f(x)=ke^k.
[Artur Costa Steiner] Oi Pichurin

f(x) = ke^x, ok? Para uma demonstração consistente na reta real, podemos
fazer o seguinte. 
Atraves de um raciocínio indutivo simples, concluimos que f apresenta
derivadas de todas as ordens em R e que f = f' = f''.... Sendo k = f(0),
temos entao que k = f(0) = f'(0) = f''(0)=..... Destas condicoes, segue-se
que, para qualquer x real, o Teorema de Taylor aplicase ao intervalo fechado
I de pontos extremos 0 e x. Existe portanto um real a entre 0 e x tal que,
para todo natural n, f(x) = f(0) +x f'(0) + ...x^n/n! f_n(a), onde f_n eh a
n-gesima derivada d f. Mas, em virtude do que vimos, temos que f(x) = k + kx
+ kx^2/2! .... + x^n/n! f(a) = P_n(x) + R_n(x), onde P_n (de grau n-1) eh o
polinomio de Taylor e R_n o resto de Lagrange. R_n eh assim uma sequencia
que depende de x, pois a depende de x. 
Mas, em virtude de sua diferenciabilidade em R, logo no intervalo fechado I,
de pontos extremos 0 e x, segue-se que f eh continua e, portanto, limitada
em I. Existe assim um real M tal que |f(y)| < M para todo y em I. Como a
estah em I, isto nos mostra que, para todo n, |R_n(x)| = |x^n/n! f(a)|  < M
|x^n/n!|. Observemos que M  depende de x mas naum de n. Conforme sabemos,
para todo real x a sequencia de funcoes x^n/n! converge para zero, o que
acarreta automaticamente que R_n(x)tambem convirja para zero. Logo, para
todo real x o resto de Lagrange converge para zero, o que garante que f
possa ser expandida em serie infinita  de Taylor por f(x) = k + kx +
kx^2/2!.... kx^n/n!.... Comparando-se esta expansão com a definicao de e^x,
segundo a qual e^x = 1 + x + x^2/2!... + x^n/n!...concluimos, com base nas
propriedades dos limites de series, que f(x)= ke^x para todo x real.
Um abraco
Artur

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