Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Gugu:

O no. 7 foi baseado num problema da Eureka, mas eu acabei de ver onde errei.
O problema original eh:

"Um triangulo tem os lados de medidas inteiras e area racional. Prove que
ele eh congruente a um triangulo cujos vertices tem coordenadas inteiras".

Eu assumi, erroneamente, que um dos lados do triangulo de reticulado (essa
eh a traducao correta de "lattice triangle"?) poderia ser paralelo a um dos
eixos coordenados, de forma que o pe' da altura relativa a este lado teria
coordenadas inteiras. O seu contra-exemplo mostra que esta hipotese nao eh
valida em geral.

Um triangulo de reticulado congruente ao seu teria como vertices:
(0,0), (15,8), (48,64) ==> nenhum lado eh paralelo aos eixos.

De qualquer forma, fica ai o enunciado do problema original. Ao que me
consta, a Eureka ainda nao recebeu uma solucao para este.

*****

A solucao que eu tinha imaginado pro no. 9 eh:

O numero S, quando expresso na base K eh igual a:
0,100100001000000100000000100..., ou seja, uma K-esimal infinita e nao
periodica. Logo, S eh irracional.

De qualquer forma, ambas as solucoes so facilmente generalizaveis para o
caso de:
SOMA(n>=1) R^(n^2), onde R eh um racional entre 0 e 1.


Um abraco,
Claudio.


on 12.04.03 02:50, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
wrote:

>> 
>> 6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia (Xn) de n=FAmeros reais tal que:=20
>> 
>> lim  ( Xn / n^t ) =3D 0 para todo t > 0=20
>> e
>> lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para todo k > 0
>> 
> 
> Existem muitas, como X_n=2^(raiz(log(n)), ou X_n=(log(n))^log(log(n)).
> 
>> *********
>> 
>> 7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida inteira e =E1rea racional. Prove =
>> que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 desta altura =
>> est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do tri=E2ngulo.
>> 
> 
> Parece que isso nao esta' certo. O triangulo de lados 17, 65 e 80 tem area
> 288 e alturas 576/17, 576/65 e 36/5, que nao sao inteiras...
> 
>> *********
>> 
>> 9. Seja K um inteiro >=3D 2.=20
>> infinito
>> Seja S  =3D  SOMAT=D3RIO  1 / K^(n^2) =3D 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + =
>> ...
>> n =3D 1
>> Prove que S =E9 irracional.
>> 
> 
> Se x=p/q e' racional e r/s e' outro racional diferente de x entao
> |x-r/s|=|(ps-qr)/qs|>=1/qs, ou seja, s|x-r/s|>=1/q.
> Por outro lado, soma(n=1 ate' m)(1/K^(n^2)) e' um racional com denominador
> (divisor de) K^(m^2), digamos p/K^(m^2), e
> |S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)=2/K^((m+1)^2), mas
> K^(m^2).2/K^((m+1)^2)=2/K^(2m+1) tende a 0 quando m tende a infinito, e
> portanto S nao pode ser racional.
> 
> Abracos,
> Gugu
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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