Turma esse primeiro eu consegui fazer usando um pouco de Schur.Tente ver por absurdo.Fica bem parecido com a soluçao de tres linhas do Gugu se voce for doido de usar Maclaurin-Newton junto.Depois eu passo...
Em desigualdades com lados de um triangulo sempre use a substituiçao de Ravi:a=x+y,b=y+z,c=z+w com x,y,z positivos.
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@impa.br> wrote:
>
>11) Seja a,b,c,d 4 n=FAmeros reais n=E3o negativos que=20
>satisfazem a condi=E7=E3o=20
>2*(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=3D16.
>Prove que a+b+c+d>=3D2/3*(ab+ac+ad+bc+bd+cd) e determine o=20
>caso de igualdade.
>
O enunciado implica que o polinomio P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) tem quatro
raizes nao negativas, e portanto sua derivada tambem (pelo teorema do valor
medio). Seja entao P'(x)=4(x-u)(x-v)(x-w).Temos 3(a+b+c+d)=4(u+v+w),
2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=4(uv+uw+vw) e abc+abd+acd+bcd=4uvw. Assim, a condicao
2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16 equivale a uv+uw+vw+uvw=4. A
conclusao equivale a u+v+w>=uv+uw+vw. Multiplicando por u+v+uv e usando
w(u+v+uv)=4-uv, temos que a conclusao segue de
(u+v)(u+v+uv)+4-uv>=uv(u+v+uv)+(u+v)(4-uv) (note que se u+v+uv=0 entao
u=v=0, e nao poderiamos ter uv+uw+vw+uvw=4). Essa desigualdade pode ser
escrita como (u+v-2)^2-uv(uv-u-v+1)>=0, ou seja,
((u-1)+(v-1))^2-uv(u-1)(v-1)>=0, e essa ultima desigualdade segue de
0<=uv=4-(uw+vw+uvw)<=4. So' podemos ter igualdade se u=v=1 (quando w tambem
e' 1) ou quando uv=0, u+v=2, caso em que w=2, ou quando uv=4 e u=v, caso em
que u=v=2 e w=0. Os ultimos casos nao sao possiveis (senao
P'(x)=4x(x-2)^2>=0 para x>=0, donde P(x) seria crescente para x>=0, e logo,
como abc+abd+acd+bcd=4uvw=0, todas as raizes de P deveriam ser iguais a 0,
donde u=v=w=0, absurdo), e no primeiro devemos ter a=b=c=d=1 (pois
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(d-1)^2=(a+b+c+d)^2-4(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+4=
=(4(u+v+w)/3)^2-8(uv+uw+vw)+4=4^2-8.3+4=0), que e' assim o unico caso de
igualdade.
>*****
>
>13) Seja a,b e c medidas dos lados de um tri=E2ngulo.=20
>Prove que: raiz(a+b-c)+raiz(b+c-a)+raiz(c+a-b)=3D>+raiz(b)+raiz(c)
>
Sejam a+b-c=x, a+c-b=y e b+c-a=z. O problema equivale a mostrar que
raiz(2x)+raiz(2y)+raiz(2z)<=raiz(x+y)+raiz(x+z)+raiz(y+z), mas isso segue de
raiz(2x)+raiz(2y)<=2.raiz(x+y), raiz(2x)+raiz(2z)<=2.raiz(x+z) e
raiz(2y)+raiz(2z)<=2.raiz(y+z), que sao equivalentes. A primeira segue
elevando ao quadrado: ela fica equivalente a 2x+2y+4.raiz(xy)<=4(x+y), ou a
x-2.raiz(xy)+y=(raiz(x)-raiz(y))^2>=0,
que e' obvio. So vale a igualdade se x=y=z, ou seja, se a=b=c.
>*****
>
>14)Demonstrar que para quaisquer valores real e x, y=20
>e z =E9 v=E1lida a desigualdade
>4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y=B2z=B2>=3D0
>
Escrevendo 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2.z^2 como um polinomio do segundo grau em
y, obtemos (z^2+4x(x+z))y^2+(4x(x+z)^2+4x^2.(x+z))y+4x^2.(x+z)^2=
=(z+2x)^2.y^2+4x(x+z)(z+2x)^2+4(x(x+z))^2= ((z+2x)y+2x(x+z))^2 >=0.
>*****
>
>15) Se a^(b^c) =3D b^d , c/d pode ser dado em fun=E7=E3o de a e b ?
>
Nao. Se a^(b^c)=b^d entao a^(b^(c+1))=b^(bd) e a^(b^(c+2))=b^(b^2.d). Se
c/d so' dependesse de a e de b teriamos c/d=(c+1)/bd=(c+2)/(b^2.d), donde
bc=c+1 e b^2.c=c+2, donde 2=c(b^2-1)=c(b-1)(b+1)=b+1, e logo b=1 e c=c+1,
absurdo.
>*****
>
>16) Seja a fun=E7ao f:N*U{0} ->N*U{0} dada pelas =
>propriedades:(f(2n+1))=B2-(f(2n))=B2=3D6f(n)+1 e f(2n)>=3Df(n) para todo =
>n natural.Ache #{x elemento de N,f(x)<2003}.=20
>(A solu=E7=E3o desse vale um doce - cortesia do Dirichlet!)
>
Vou mostrar por inducao que se n=soma(j=0 ate' k)(s_j.2^j), com s_j em
{0,1} e' a representacao binaria de n entao f(n)=soma(j=0 ate' k)(s_j.3^j).
De fato, de f(1)^2-f(0)^2=6f(0)+1 segue (f(0)+3)^2-f(1)^2=8, donde
f(0)+3+f(1)=4 e f(0)+3-f(1)=2 (pois f(0)+3 e f(1) sao naturais de mesma
paridade), e logo f(1)=1 e f(0)=0. Temos
(f(2n+1)+f(2n))(f(2n+1)-f(2n))=6f(n)+1. Assim f(2n+1)>f(2n)>=f(n), donde
f(2n+1)+f(2n)>=2f(n)+1 e e' um divisor de 6f(n)+1. Como 6f(n)+1 e' impar e
(6f(n)+1)/(2f(n)+1)<3, segue que f(2n+1)+f(2n)=6f(n)+1 e f(2n+1)-f(2n)=1, e
logo f(2n+1)=3f(n)+1 e f(2n)=3f(n), o que implica nossa afirmacao para 2n e
2n+1, supondo que ela vale para n.
Agora, como f(x) e' uma soma de potencias de 3 distintas, se f(x) < 2003
, como 3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+3^0 < 2003 < 3^7, x deve ser uma soma
qualquer de potencias de 2 distintas coem expoentes menores que 7, ou seja,
x pode ser qualquer numero menor que 2^7=128. Assim, {x
natural,f(x)<2003}={0,1,2,...,127}, donde #{x natural,f(x)<2003}=128.
Cade meu doce, Dirichlet ?
>*****
Abracos,
Gugu
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